- .
( ):
Mk = Mxl + 0{k). (3.5)
Для этого заметим, что из свойства 1 следует соотношение
Мх — Ми = const + О (k). (3.6)
!) Такие члены могут возникать только нз фотонных вставок во внешние линии, так как лишь вставки во внешние линии приводят к знаменателям вида k ■ q2, которые стремятся к нулю при 6->0. Сумма фотонных вставок во внутренние линии разлагается в ряд Тэйлора Cq + Ci ■ k + ....
220
Г лава 3
Кроме того, в силу равенства (3.3) и свойства 2 имеем
kx{Mx - MK') = 0{k2)- (3.7)
Сравнивая соотношения (3.6) и (3.7), мы видим, что const = 0, а это эквивалентно равенству (3.5).
Простейшей иллюстрацией результатов Лоу является теорема Кролла — Рудермана для фоторождения пиона^ рассмотренная в гл. 2. Фоторождение пиона описывается матричным элементом (nN | Jem IN). Соответствующий процесс без участия фотона N-*n'N представляет собой не что иное, как пион-нуклонную вершину. Фотонные вставки во внешние линии соответствуют диаграммам борновского приближения, изображенным на фиг. 2.3. Так как дивергенция суммы вкладов этих диаграмм равна нулю, то борновское приближение для фоторождения пиона совпадает с величиной Ми в методе Лоу и поэтому является полной амплитудой фоторождения с точностью до членов порядка k. Это и есть теорема Кролла — Рудермана. Другим полезным и практически важным приложением метода Лоу является вычисление радиационных поправок к амплитудам процессов рассеяния и распада, связанных с мягкими фотонами ')•
Метод Лоу может быть также обобщен на случай несохраняющихся токов. Предположим, что равенства
(3.2) и (3.3) заменены следующими:
Мк = (р | | а>, d\JK = D, k\Mx = i (P|D|a). (3.8)
Тогда легко показать [1], что члены порядка k~l и k° в Мк можио выразить через матричный элемент (P|D|a). Этот метод можно использовать, например, для вычисления матричного элемента испускания виртуальной лептонной пары с малым 4-импульсом в реакции
*) Результаты Лоу справедливы в низшем неисчезающем порядке по электромагнитному взаимодействию. Можио показать, что во всех порядках по электромагнитному взаимодействию М* содержит не только члены порядка k~l и k°, но и члены порядка In k, н получить явный вид сингулярных членов. Это позволяет, в частности, найти так называемые инфракрасные особенности мдч Тричных элементов упругих процессов (см. [9]).—Прим. ред,
Низкоэнергетические теоремы для токов 221
a->p+e+v^. Данный процесс описывается эффективным лагранжианом (1.14в); соответствующий адронный матричный элемент имеет вид
+ (3.9)
Матричный элемент векторного тока (р | ^ + *$21 а) удовлетворяет уравнению (3.3) и поэтому определяется непосредственно методом Лоу. Аксиально-векторный матричный элемент удовлетворяет уравнению (3.8), где оператор D пропорционален полю пиона. Как показано в работе [1] (при обычном предположении о медленном изменении матричных элементов, которое делается при формулировке гипотезы о частичном сохранении аксиально-векторного тока), с помощью обобщенного метода Лоу аксиально-векторный матричный элемент можно связать с градиентом по 4-импульсу пиона от матричного элемента процесса а-*р + я.
