Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ff^SvoW. S0=2
р, л Pi а
В силу принципа Паули числа заполнения состояний в случае статистики Ферми могут принимать только значения 0 и 1.
Для вычисления гриновской функции свободных частиц удобнее всего воспользоваться определением (11.1) Подставим в него разложение шредингеровских операторов ф в ряд Фурье
•КC1) = T^S C2) = уу S aXrip^
Pt Рг § 11] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ
143
Имеем:
PtPi
S0 + ! !.IV-H0
X Sp {е Г «Т (Я„-^)а/)1^-т(Я0 e + ? f .
Учитывая, далее, что гамильтониан H имеет в импульсном представлении вид
H0 = 2 ^ = 2
/; 7 ра
легко убедиться в справедливости тождества
-и-)
(11.10)
(Hb-V-N)cipfie -Z(Ha-V-N)- йраЄ- T (е0 (P)-¦т (Af0-IJ-Af)a+ g-т (Я0-р.іУ) __ fl+ ex (E0 (PbIi)i
e'-
для чего достаточно вычислить единственный отличный от нуля матричный элемент в правой и левой частях. Таким образом,
©(0) (х > 0) =--Y ^ el (Pi'-1-P^)-C(E0(P.)-Ii)sp X
PiPi'
( gp+р-Л^-Яо 1I
Xl« т
Произведение a.pa<Zpp имеет отличные от нуля диагональные матричные элементы только при P1=P2, a = ? и, следовательно,
<>(/-! -г2. X > 0) = - е^^-^^-^а+).
р
Величина (арга^ выражается через равновесные числа заполнения п(р), зависящие от температуры и химического потенциала. Для частиц, подчиняющихся статистике Ферми,
Г B0(P)-IJ. -I-1
(VaA)=1 -»(*)' НР) = [е т +IJ ; (11.11)
для бозе-частиц
г S0 (P)-H I-1
iVU)=1+"^). "-(Я) = U г -U . (11.12) 144 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. iii
Устремим теперь объем системы V к бесконечности, переходя обычным образом от суммирования по импульсам к интегрированию. Получим окончательно:
т > 0) = — 8ар T^F I dPeipr-x^M-VV + »(/О).
(11.13а)
где верхний знак соответствует ферми-частицам, нижний — бозе-частицам. ©(0) при т < 0 проще всего вычислить, воспользовавшись соотношением (11.8):
©<°> (г, T < 0) = + (г, T +1.) ==
= ±К?-^Tf dPeipr-x^п(р). (11.136)
Гриновская функция свободных фононов вычисляется аналогичным образом. Подставляя в (11.2) фурье-разложе-ние оператора <f(r):
к
где ш0(к)—энергия фонона, находим после соответствующих выкладок:
S)(V. *) = --2ЩГ f dk<00(6){(N(6)+1)Є"'-«» 1*1 +
+ N (k)eibr+°>°W 1т|}. (11-14) Г щ (ft) -)-1'
N(k) = [e г — IJ-В соответствии с (11.9) ?)(0) есть четная функция т.
§ 12. Теория возмущений
1. Представление взаимодействия. Если частицы, образующие систему, не свободны, то в выражении для температурной гриновской функции (11.1) можно перейти к своеобразному представлению взаимодействия, похожему на представление взаимодействия квантовой теории поля (Мацу-бара [29]). Введем для этого матрицу ®(х) (0 < т < 1 /Т), -§ 12] теория возмущений 145
являющуюся аналогом 5-матрицы теории поля, определив ее соотношением
D-t (H-ii.1V) = р-t (H0-V-N)ISi ст\
(12.1)
ez (H-V-N) __ (g-1 (т) ех (H0-V-H)f
Введем, далее, операторы полей частиц в представлении взаимодействия:
(J) (г, т) = ех (H^-v-N)^ (г) е-т (A- V-H),
+ (12.2)
совпадающие при H = H0C упоминавшимися в' § 11 гайзен-берговскими операторами.
По аналогии с (12.2) определяются и другие операторы в представлении взаимодействия. В частности,
Н(х) = Єт (H0-^N)Jie-z(H,-\M)t
Hint (х) = е"1 №-ііЛ?>.
Из этого определения следует, что операторы Н(х), Hint(x) получаются из Н, Hinv если в последних заменить ф(/*), (/"), соответственно, на ^ (г, х), ф(г, т). Заметим, кроме того, что H0(i), N (т) фактически не зависят от X (гамильтониан свободных частиц коммутирует с оператором N):
H0(х) = е-(Ho-v-N)H^e-Z (H,-v-rv) = яо>
M (х) = ez (H0-V-N)Ne-Z(H3-V-N) — /V.
Матрица <5(х) удовлетворяет простому уравнению, отличающемуся от соответствующего уравнения для 5-матрицы (6.17) заменой t—> — г'х. Мы, однако, выведем это уравнение заново, для чего продифференцируем по т первое из равенств (12.1):
— (Н— JiAO е~х tf-v-ft =
= в-т (H0-V-N) M _ (H0 — [ЛЛО 146 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Умножая обе части уравнения на ^(?-^), имеем:
І®?>- = _Я<п<(т)©(т). (12.3)
Решение уравнения (12.3), удовлетворяющее условию©(0)=1, которое следует из определения S, имеет вид
© (T) = Tx exp j - Г Hint (тО dA. (12.4)
I о J
Символ Tx в (12.4) означает, как уже упоминалось, что все операторы должны быть расположены слева направо в порядке убывания т. В справедливости (12.4) легко убедиться непосредственным дифференцированием с учетом только что отмеченной операции Tx,
Наряду с © (т) рассмотрим еще матрицу © (T1, т2) (T1 > т2):
© (T1, T2) = Tx exp j - J Hint (t') dz' j ,
© (т) = © (т, 0). © (T1, т2) обладает рядом очевидных свойств:
S(T^T3) = S(Tj1T2)S(T2jT3) (T1 > T2 > T3),
і (12.5)
S (T1, T2) = S (T1) S-1 (X2) (Х!>Т2).
Перейдем теперь к представлению взаимодействия в формуле (11.1) для гриновской функции; выразив все экспоненты, содержащие Н, через H0 и S, имеем:
j Ho-VN
®(т> 0) = —Spje т S(¦S'-1 (T1)х
X e-(tfo-!>JV) (Хґ) S"1 (T2) eWo-V-N) (r2) e-(H„-vN) (^) } , или, учитывая (12.1), (12.5),
