Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
®(x>0) = — eT Sp\e T S(^1T1)X
X ф(г,, T1) S (T1, т2) f(ra, т2) S (T2)}. (12.6a) -§ 12] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 147
Подобным же образом запишется © при х < 0:
в < _ Яр-I^
© (т < 0) = ± е r Sp \ е T S(^rt-C2)X
Хф(г2, х2)@(т2, T1^r1, X1) S (т,) } . (12.66)
Выражения (12.6а) и (12.66) могут быть объединены в одну формулу
O(T) = -C^ Sp\e r Tt(ф(г,. T1^r2, т2)@(4"))}.
(12.6в)
вытекающую непосредственно из определения операции ^-упорядочения и (12.5).
Теперь нам осталось преобразовать величину е2/7". Для этого заметим, что по определению
( Й-у.ft I
е г =Sple- г P
откуда сразу следует:
_2_ г Й0-у.ІЇ
е т = Sp I е т © (-
Окончательно выражение для © в представлении взаимодействия запишется в виде
Sp I в ~Тт (ф (г„ т,) ф (r„ т,) © ("f") ) } .©(г,, X11T21T2) =--*- V W///
Ha-[Ш
Sp I е 7 @ (^r
или, если мы введем символ гиббсовского усреднения по состоянию системы невзаимодействующих частиц,
®(rt, XliT2. T2) = - т;>*<г» , (12.7)
J S0 + ItAt- Яр I
(.. .)0= Sp \ е г ©эб^). (12.8)
Повторяя буквально только что проделанные выкладки, можно получить выражения для гриновской функции фонона 148 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
и многочастичных гриновских функций в представлении взаимодействия. Гриновская функция фонона получится в виде
J)(l, 2) = — <Мт Wifflg)).. (129)
а двухчастичная гриновская функция
= (12.10)
Формулы для гриновских функций, зависящих от большего числа переменных, отличаются от (12.7), (12.9), (12.10) лишь числом ф-операторов под знаком Г-произведения.
В заключение приведем соотношение, связывающее термодинамический потенциал 2 с матрицей <&:
Q = Q0-T 1п(©)0. (12.11)
Здесь 20 — потенциал 52 в отсутствие взаимодействия:
Qa = — Г In Sp
2. Теорема Вика. Перейдем теперь к нашей основной задаче — вычислению гриновских функций системы взаимодействующих частиц. Если взаимодействие между частицами можно считать слабым, то выражение для температурных гриновских функций в представлении взаимодействия позволяет представить ряд теории возмущений по Hint в исключительно компактной форме.
Гамильтониан взаимодействия Hint входит в гриновскую функцию только через посредство матрицы <3. Разлагая экспоненту в правой части (12.4) в ряд по степеням Hint (т), мы получим: MT
®=1 —
f Hlnt (Xr) dz' +
о
1/Г 1 /г
+ у/ / dz' dz" Tx (Hint (Z') Hint (Z")) -
о I)
MT MT
= Sll^n / * * •/ dxi ¦ ¦ ¦ d^TAHiM ... Hint(Zn)). п = 0 О О
(12.12) -§ 12] теория возмущений
149
Подставляя теперь это разложение в числитель формулы (12.7), найдем ряд теории возмущений для гриновской функции
©a? (rI' Tl! rV ^) =
со 1/7- MT
п = О О О
-X(т;^cv ч)Hint^m) ¦ ¦ ¦ IiM)), 02-13)
первый член которого, естественно, совпадает со свободной гриновской функцией ©(0) = — (Z11. (ф (1) ф (2) ))0, вычисленной В § 11.
Мы не будем разлагать матрицу <5 в выражении (1Z)0, стоящем в знаменателе (12.13), поскольку оно, сократится с таким же множителем в числителе. К тому же (S)0 есть постоянная величина, не зависящая от г, т, и не может никак повлиять на дальнейшие рассуждения.
Во всех реальных задачах Нш(т) представляет собой произведение некоторого (обычно небольшого) числа операторов ф(г, т), ф(г, т) (и, может быть, <р(г, т)), проинтегрированное по пространственным переменным. Поэтому задача вычисления гриновской функции по теории возмущений сводится к вычислению среднего значения от Г-произведения некоторого числа операторов ф, взятых в различных пространственных и «временных» точках:
<Гт(ф.(г. т) . . . Mr'. т') . . .))„. (12-14>
С подобного рода проблемой мы уже сталкивались в предыдущей главе при вычислении обычных гриновских функций при абсолютном нуле температуры. Там было показано, что среднее от любого числа операторов сводится к сумме произведений всевозможных попарных средних, равных по определению гриновским функциям свободных частиц (теорема Вика). Как мы сейчас увидим, подобная же ситуация имеет место и в нашем случае. 150 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Чтобы убедиться в этом, подставим в (12.14) вместо операторов ф их разложения в ряд Фурье по координатам ')
<]> (г, т) = у= 2 ар (т) (-W-rt,
1 ^ ^12-15)
Ф(Г, Т) = уу W e iPr + '' (Е0 (/>Ь|1)-
P
Операторы ар(т) и а+ (т) в (12.15) представляют собой обычные операторы уничтожения и рождения и в действительности от т не зависят. Мы, однако, сохраним букву т для обозначения места, которое должен занимать тот или иной оператор при Г-упорядочении.
После подстановки разложений (12.15) выражение (12.14), если отвлечься от экспонент (12.15), примет вид
Yv Li Yv Li ¦¦¦ Yv
"і р\ P2
... (T^api (T1)0p2 (T2) ... 0;;(T;)^(TQ ...))0. (12.16)
В сумме ПО P1.....р'у ... отличны от нуля лишь те члены,
в которых содержится равное число операторов рождения и уничтожения, относящихся к одному и тому же импульсу. В частности, отличны от нуля члены, содержащие только по одному оператору рождения и уничтожения с одинаковым импульсом; так, отличен от нуля член
