Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
^2 <Е)(0) (z1 — z2). Естественно, что соответствующие поправки будут описываться точно такими же диаграммами, как на рис. 33 и 34. Мы, однако, для определенности будем изображать гриновскую функцию фонона *D(0) не волнистой, а пунктирной линией.
Поправки второго порядка к фононной гриновской функции описываются двумя связанными диаграммами (рис. 39, а и б).
-™0>---------о о—
CtJ &
Рис. 39.
Вычисления дают для поправки в случае рис. 39, а выражение ± J rf4zi rf4z2S)(0) (X-Z1) (Z1 -z2) ®<2 (Z2-Z1) ?)((,)(?-?). поправка в случае рис. 39, б имеет вид
/ J А®(0) (* - Z1) @аа(0) f Л2®(0) (Z2 - у) ®?3 (0).
Так же, как и в § 9, можно убедиться, что выражение, соответствующее диаграмме 39, б), равно нулю. То же самое обстоятельство позволяет вообще не рассматривать диаграмм, в выражениях для которых появляется
интеграл Г ?)<0) (z) dAz. Сюда относятся
і J _
I все диаграммы для 5D, которые распа-
---^—* даются на две не связанные друг
Рис 40 с ДРУГОМ части, причем к каждой из
частей подходит по одной внешней линии, а также диаграммы для © типа рис. 40 (последние всегда содержат часть, не содержащую внешних линий и соединенную с остатком одной фононной линией).
Рассматривая поправки к 3D следующих порядков и учитывая сказанное выше относительно можно сформулировать следующие общие правила вычисления по диаграммной технике поправки порядка 2п:
1) каждой сплошной линии диаграммы сопоставляется гриновская функция свободной частицы (х — у), каждой пунктирной линии — функция 2?>(0) (х — у);
Q § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 167
2) производится интегрирование по координатам всех вершин (по г и по т);
3) полученное выражение умножается на g2" (—\)n+F, где F— число замкнутых фермионных петель в диаграмме.
Рис. 41.
Например, поправка четвертого порядка к гриновской функции фонона, описываемая диаграммой рис. 41, имеет вид
+ f d\ ... А©(0) (* - Z1) (Z1 - Z2) @<JTi (Z3 - Z1) X X ©(0) (Z2 - Z3) ©^ (Z2 - Z4) ©58 (z4 - z3) S>(0) (z4 - у),
§ 14. Диаграммная техника в импульсном пространстве
1. Переход к импульсному представлению. Развитая в предыдущем параграфе диаграммная техника в координатном представлении оказывается, однако, весьма неудобной при конкретных вычислениях. Дело в том, что успех методов теории поля при абсолютном нуле температуры обязан в основном большой степени автоматизма при вычислениях, который достигается за счет разложения всех фигурирующих в теории величин в итегралы Фурье по всем четырем координатам, подобно тому, как это было сделано при T= 0. В описанной выше технике Мацубары такой автоматизм отсутствует в связи с тем, что переменная т в этом методе изменяется в конечных пределах от нуля до 1/Т и переход к фурье-представлению (по т) оказывается невозможным.
В координатном представлении ©(0) и 3D(U) являются разрывными функциями переменной т; все интегралы по т фактически распадаются на большое число областей, число которых с ростом порядка (п) приближения очень быстро растет. Это делает применение мацубаровской техники крайне затруднительным. 168 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Технику можно значительным образом улучшить, если разложить величины, зависящие от т, в ряды Фурье по этой переменной (Абрикосов, Горьков, Дзялошинский [30], Фрадкин [31]).
Температурная гриновская функция (У (или 3)) является функцией разности T1 — т2 и как таковая задана в интервале (— 1/Т, IjT). Разложим G) (0 в ряд Фурье:
@(т) = ^r1VfeS(IDs)1
п
У (14.1)
®(Шл)=1 j e"V@(T)rfT, шп = кпТ.
-i1t
Наша задача состоит в том, чтобы произвести переход к фурье-представлению в выражениях для поправок к гриновской функции, приведенных в § 13. При этом было бы безусловно желательным, чтобы указанный переход не внес в формулы никаких дополнительных усложнений (например, чтобы не возникало каких-либо дополнительных, зависящих от «частот» и>п, множителей и т. п.).
Оказывается, что в случае конечных температур мы сталкиваемся практически с той же ситуацией, какую имели при T= 0. Это связано с отмеченным нами в § 11 одним общим свойством гриновских функций. Именно, как было установлено, ©(т) при т<0 связано простыми соотношениями с @(т) при т>0 (см. формулы (11.8), (11.8а)). Из этих соотношений следует, что фурье-компоненты ©(«„) гриновской функции бозе-частиц и фононов отличны от нуля лишь для «четных» частот шп = 2кпТ, в то время как © для ферми-частиц имеет лишь компоненты с
ШП = + !) ъТ.
Действительно,
ЦТ
©к)=J f e^v© Wtfx =
-1/Т
1/Т о
= I / rV©(T)tfT + I j e"V@(,)rfT.
u -і it § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 169
Выразим во втором интеграле ©(т < 0) при помощи соотношения (11.8) и произведем в нем затем замену переменных <с' = т-|-1/Г. Имеем:
1 /Г о
/ T \
di
\ ' і /
О - 1 ,г
®К) =TI e"V®dz + T /"т®+ т)1
-\,т
иг
= I(IqrewVr) f e"V© (,)</,.
'о
откуда сразу вытекает сделанное утверждение. Заметим, что при этом всегда
1 /г
