Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
оказываются пропорциональными корню из объема:
а0~ a+-VN-VV,
так, что при V-* оо члены типа (12.176) останутся конечными. Аналогичная ситуация возникает и для сверхпроводников. В обоих случаях приходится пользоваться специальной техникой, описанию которой посвящены отдельные главы.
Вернемся теперь к случаю, когда пригодна обычная диаграммная техника. Подобно тому, как это было в предыдущей главе, диаграммы для гриновских функций имеют две внешние линии; одна из внешних линий начинается в точке Г], T1, соответствующей координатам оператора (rp T1), а другая внешняя линия оканчивается в точке г2, т2, соответствующей координатам оператора фр(/"2, т2). Так же как и раньше, диаграммы для функции © могут быть разделены на два класса — связанных и несвязанных диаграмм. С помощью совершенно аналогичных рассуждений можно убедиться, что учет несвязанных диаграмм приводит к сокращению знаменателя в формуле (12.7). В результате для ©-функции имеем:
>v = -(^(^1)^2. ®)>с (12.19)
где (...)с означает учет всех связанных диаграмм.
Поскольку при выводе нигде не используется тот факт, что число внешних линий на диаграмме равно двум, то же самое будет иметь место и для многочастичных гриновских функций. В соответствующих формулах (типа (12.10)) можно опустить (<3) в знаменателе и при вычислении средних учитывать вклад только связанных диаграмм.
Так же как и в предыдущей главе, каждая диаграмма входит в ряд для © с коэффициентом типа а", не зависящим существенно от порядка диаграммы. Это обстоятельство является очень важным при суммировании бесконечных последовательностей диаграмм.
§ 13. Диаграммная техника в координатном пространстве. Примеры
Основным результатом предыдущего параграфа было установление того факта, что при вычислении температурных гриновских функций © можно пользоваться обычной диаграммной техникой Файнмана. Главным элементом всякой § 13] ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА В КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 155
диаграммы является линия, изображающая гриновскую функцию свободной частицы или фонона. Как и в предыдущей главе, гриновскую функцию частицы мы будем изображать сплошной линией (рис. 32); стрелка на линии указывает ее направление: линия «выходит» из точки с координатами rv T1 и проекцией спина Gc1 (этой точке соответствует в определении ©-функции оператор ф) и «входит» в точку г2> т2, а2 (ей соответствует оператор ф). Координаты точки «выхода»
aJ Oj
Рис. 32.
пишутся в аргументе гриновской функции слева, координаты «входа» — справа. Так, линия на рис. 32, а изображает гриновскую функцию
®«?«,(гі. V. 's- h—h)'
на рис. 32,5 — гриновскую функцию
®S,(r2> Ч'Г\' sa ®S., (*2 — rv Т2— Tl)-
Гриновскую функцию фонона мы будем изображать пунктирной линией (рис. 32, в). Направление на фононной линии можно не указывать, поскольку, как мы видели в § 11, J)(0) есть четная функция T1—г2 и t1 — т2.
По координатам точек пересечения линий — «вершинам» — происходит интегрирование: по всему пространству по г и в пределах от 0 до 1 /Г по т. В вершинах происходит также суммирование по спиновым переменным.
Конкретный вид диаграмм зависит от типа взаимодействия между частицами. Для построения диаграмм нужно воспользоваться теоремой Вика, согласно которой среднее от Г-про-изведений нескольких операторов, входящих в ряд теории возмущения для гриновской функции (12.13), представляется Є виде суммы произведений попарных средних, Последние 156 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. Iii
связаны с гриновскими функциями свободных частиц следующими соотношениями:
(Tx (Г,, T1) (г3. т2)}) = - (г, - r2, T1 - T2),
(13.1)
(Tx {фр(г2, T2)<]>„(/-!, T1)!)= ±— r2; T1-T2)
(знак «плюс» для ферми-частиц, знак «минус»—для бозе-частиц).
Среднее от произведения двух фононных операторов выражается через функцию ?)(0):
<Т;(?Сі. X1Mr2, X2)]> = — (#-, — #-2, T1-T2). (13.2)
Рассмотрим различные типы взаимодействия. А. Двухчастичное взаимодействие. Пусть между частицами системы действуют парные силы, описываемые потенциалом U (гх—г2). Гамильтониан Нтх в представлении взаимодействия имеет вид
1 '* P
(х) =2 JJ drI dr2 ^ С)' тЙр (7V X) U (iгj - r2) X
ХфрС2, х)^^, т). (13.3)
Вместо потенциала U (гх—г2) удобно ввести зависящий от «времени» т потенциал SLH^1—r2, T1 — т2), определив его формулой
»(г,—г2. T1-T2)= L^r1-r2) 8(T1-T2). (13.4)
Используя (13.4), выражению (12.4) для матрицы (5 можно придать симметричную форму:
©=Гтехр{-1/j Cirl dr2 ^t1 dx2 (г2, т2) (rv T1) X
Х*Н>*1— r2, T1-т2)фр(г2, T2) ^ (/-J1 TjJ. § 13] ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА В КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 157
Вычислим поправку первого порядка по U к гриновской функции. Имеем'):
©i? (х — У) =
// d*Zl d^ ta 33 - z^hl Сі)?т2 (?) X
X Фт2 C2) ^1(Z1)I). (13.5)
Согласно теореме Вика, (...) представляется в виде суммы следующих четырех членов:
(у)}) <{Фї, (*iHTl Ci))) (ItT2C2)^T2C2))). (о + (Tx (I^2C2Ht1 Cl)}) ({ Фт, Cl) Фт2С2)})- (11)
(т;{ф.<*)Фт,Сі)})(7VіФт,Сі)ФР(у)}>({^r2с2)^t2C2)!). (»о
+ (Tx {«]>„(*)фТі Cl)}) ((Фг2 C2)Фт, Cl)}) (Tx {фї2 (Z2) (у-))) (IV)
