Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Pl Pl
р,фргф... (12.17а)
и другие члены, отличающиеся от (12.17а) перестановкой импульсов pv P2, .. у операторов а+.
Когда имеется несколько операторов рождения с одинаковым импульсом, например два, соответствующие отличные
2 i/"i7 2 ' ' •
') В справедливости (12.15) проще всего убедиться, воспользовавшись определением операторов в представлении взаимодействия и тождествами (11.10). -§ 12] теория возмущений
151
от нуля члены в сумме имеют вид
у' т S -V S • • • Ы Ы aP. (?) aP, (?) • • •
P1 Pl
• • •WeJftKtt) • • OV 02.176)
Выражения (12.17а) имеют одну особенность, отличающую их от всех остальных. Именно в (12.17а) число множителей XjV совпадает с числом суммирований, в то время как во всех других первое число всегда больше. Представим теперь, что мы уже произвели усреднение (...)0 и будем стремить-объем нашей системы V к бесконечности, сохраняя, однако,
постоянной плотность числа частиц NjV. ^При этом суммы
заменяются на интегралы по правилу V 1 ^ ... —>(2тс)~3 J*
Сумма (12.17а) в пределе V->-oo останется конечной, выражаясь через интегралы по импульсам от различных комбинаций фермиевских или бозевских функций. (С простейшим примером такого рода мы уже имели дело в § 11 при вычислении свободной гриновской функции ©(0) = — (7^(^(1)^(2) ))0.) Напротив, в выражениях вида (12.176), помимо указанных интегралов по импульсам, останется некоторое число лишних множителей 1/V, что приведет при V—>оо к исчезновению этих выражений.
Таким образом, из всех членов суммы в (12.16) в пределе V —>оо останутся лишь члены вида (12.17а), в которых все операторы рождения (и уничтожения) имеют разные импульсы. Это означает, что фактически при вычислении
(7^j 0P1 (Ti) aP2 (тг) ¦¦¦ ар[ (Ti) 0^ft) ¦ • • мы можем усреднять каждую пару операторов ар, ар независимо. Среднее значение от Г-произведения большего числа операторов выразится при этом в виде суммы всевозможных попарных средних. Например,
(MaP1 tt) ^ftXjft) ^ft) })о-
-(4 aP1 ft) aP1 (? } )0 ( -P2 Ы ft)) )о (12-18а) 152 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
(знак «минус» для статистики Ферми, «плюс» для статистики Бозе).
В координатном представлении эти результаты означают, что среднее от 7-произведения некоторого числа ф-опера-торов распадается на сумму произведений всевозможных попарных средних операторов ф, ф. В частности, вместо (12.18а) имеем:
PvP2-PyP2
= -р: ^« (р 1 rI "^2^2)-Т1 (*» (pO ~ + (е° (^2) - 0 X
X^ {\Ыа+ф) })0Х
х е'(Р2г2-р'А)-х2 ('"(^2)-^)+^(^(^1)-0 X
X — ]?] el {P2r2-P2r2)—-2(^ (P2)-->) + x'2(s<>(P2)-,>') у = (7 {ФCv x1)х;)})0(7{о(г2, х2) ф(г;, х;)})о +
+ (т \Hrv ^HrV <ШтЛНгг ъ)Нг2' <)}>о- (12Л8б>
Аналогичные соотношения имеют место и для большего числа операторов.
Стоящие в правой части (12.186) средние величины с точностью до знака совпадают с температурными гриновскими функциями свободных частиц. Таким образом, при вычисле- -§ 12] теория возмущений
153
нии температурных гриновских функций мы сталкиваемся с той же ситуацией, которая имела место в случае абсолютного нуля температуры. Как и там, для гриновской функции © справедливо разложение (12.13), по форме совпадающее (если отвлечься от множителя і" и пределов интегрирования по т) с разложением (8.9) для функции О. Для вычисления входящих в (12.13) средних значений (7Т(...))0, как и -раньше, можно воспользоваться теоремой Вика, согласно которой эти средние выражаются через средние от пар операторов рождения и уничтожения.
Заметим, что в излагаемой технике понятие нормального произведения отсутствует. Теорема Вика имеет место не для самих 7-произведений, а только для средних значений.
Расписывая любой член ряда (12.13) по теореме Вика и заменяя (T1(^))0 на свободную гриновскую функцию
@$(r,-ra, X1 т2) = (7Т {фа(г,, т,)^. т2)})0,
мы приходим к выражениям, полностью совпадающим со структурой соответствующих рядов при 7=0. Это позволяет применить для описания различных приближений ряда теории возмущений те же самые диаграммы Файнмана, которыми мы пользовались в предыдущей главе. При этом изменяются лишь правила, по которым каждому элементу диаграммы сопоставлялись определенные выражения. В нашем случае каждой линии диаграммы следует сопоставить вместо функции 0Ю) температурную гриновскую функцию свободной частицы ©(0), а интегрирование по времени от — со до со в каждом узле диаграммы заменить на интегрирование по мнимому «времени» т в пределах от 0 до 1/7.
До сих пор мы молчаливо предполагали, что при стремлении объема системы к бесконечности (при заданной плотности) все гриновские функции свободных частиц и интегралы от них остаются конечными. На этом основании, мы, в частности, отбросили в пределе V —сю члены вида (12.176), что позволило нам сформулировать теорему Вика. Положение существенно изменится в случае системы бозе-частиц при температурах ниже температуры конденсации Tc и в ферми-системах, обладающих свойствами сверхпроводимости.
В случае бозе-газа при 7 < Tc операторы рождения и уничтожения частиц в состоянии с равным нулю импульсом 154 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [гЛ. IIi
