Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
и еще четырех членов, получающихся из (I) — (IV) заменой Z1 -+Z2, Ті->Т2- Вклад этих последних в интеграл (13.5), очевидно, совпадает с вкладом от (I) — (IV), что приведет просто к исчезновению V2 перед интегралом.
Заменяя (Tz {...}) на гриновские функции @(0> по формулам (13.1), получим, что поправка первого порядка слагается из следующих четырех выражений:
- (х — у) ff d% i (0) аз (^1 - Z2Wfll2 (0), (1)
± (х-У) J f d% (Z1 ~z2) ©5JTi (Z2-Z1)«(Z1 -z2),
(II)
± f f <>, (* - Z1) Щ (Z1 -у) QbM1(O)Vizl -Z2) d\d%,
(III)
-ff ©i?, (X-Z1) ©^ (z1-z2) ©5 (z2-у) я (z,-z2)d% d%.
(IV)
Отметим, что величина r2, 0) всегда берется
при т-> — 0.
') В дальнейшем в этом параграфе светлыми латинскими буквами мы будем обозначать совокупность четырех переменных X = (г, т). Так, (х — у) = Qi (х —у, X1-хг), dAx = drdi. 158 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
У ^ff
Будем изображать на диаграмме функцию 33(^—Z2) волнистой линией. Тогда выражениям (I)—(IV) можно сопоставить диаграммы рис. 33. Диаграммы /, II относятся к упоминавшимся в предыдущем параграфе несвязанным диаграммам. Как там было указано, при вычислении гриновских функций их вклад учитывать не следует.
Вклад в поправку первого порядка дают, таким образом, только диаграммы III, VI и диаграммы, отличающиеся от
©них перестановкой коорди-4 нат вершин Z1, Z2. Напомним еще раз, что такие диаграммы называются топологически эквивалентными; все топологически эквивалентные диаграммы дают одинаковый вклад.
Jr & т z' д. У Следует обратить внимание на то, что выражения, Рис. 33. соответствующие диаграм-
мам IlI и IV, имеют в случае фермиевской статистики противоположные знаки. Это обстоятельство связано с наличием на диаграмме III замкнутой петли. Рассматривая диаграмму произвольного порядка, можно показать, что любая замкнутая фермионная петля (не обязательно образованная из одной линии, как в нашем случае) входит в соответствующее выражение со знаком «минус».
Сформулируем теперь правила, по которым производятся вычисления поправки произвольного порядка.
1) Прежде всего, следует изобразить все связанные топологически неэквивалентные диаграммы с 2п вершинами и двумя внешними концами, причем в каждой вершине сходятся две сплошные и одна волнистая линия.
2) Каждой сплошной линии диаграммы сопоставляется гриновская функция частицы ©?$(.«— у) (х, а — координаты начала, у, ? — координаты конца линии).
3) Каждой волнистой линии сопоставляется обобщенный потенциал 33 (х — у).
4) Производится интегрирование по координатам каждой вершины z{d^z~dzdx) и суммирование по спиновой переменной а. § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 159
5) Полученное выражение умножается на (—\)п+р', где
п_порядок диаграммы, a F— число замкнутых фермион-
ных петель в ней.
Z У Z-Z Ь 4 Xt #
Рис. 34.
6) Если в выражении возникают гриновские функции от совпадающих временных аргументов ©(0)(0), их следует понимать как Iim ©(0)(/*j—г2,—т).
Рассмотрим поправку второго порядка. Все возможные топологически неэквивалентные диаграммы с четырьмя вершинами изображены на рис. 34. Пользуясь правилами 1) — 6), легко записать соответствующие этим диаграммам 160 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. Ill выражения:
f d% d% d% d% (S)I0' (X - Z1) ©^ (Z1 - z2) ©5 (Z2 -у) X
X 33 (^1 - Z3) J (Z2 - z4) ©т(з°»з (0) ©^ (0), (I) f d% d% d% d% ©sI (X - Z1) ©^ (Z1 - Z2) ©J3(z2 - Z3) X
X - <? (? - у)» - *г)«(? - (10
qp f d%d%d%d%®M (X-Z1) ©^(Z1-Z2) @g»s(Z2-Z3)X
X ©$ (? - y) ©v4 (0) « <*i ~ ^) a (z2 - z3), (in) J" d% d% d% d%&(X - Z1) (Z1 - y) ©5JTs (Z2 - Z3) X
X <\2 (? - -?) <т4 (0) ^ Oi - *2)«(? - (IV)
f d% d% d% d% ©5 (X - Z1) ©J2 (Z1 - z2) ©Jb (z2 - Z3) X X ©gT« (? - *«) ©5 (Z4 - y) « (Z1 - Z4) « (Z2 - Z3), (V) 4 f d% d% d4z3 d% ©5 (X- Z1) ©^ (Z1-Z2) (Z2- z3) X X (? - У) @rJ4 (°) ®(*i - *3) « (? - (VI) + / d4z2 ^z3 ^4 ©<0) _ 2i) (J1)W _ y) ®^T3(z2—z3) X X <T4 (? - ^4) (*4 - -?) » (*! - 33 (Z3 - Z4), (VII) J d% d% d% d% ©5 (X - Z1) (Z1 - z2) ®;°2'їз (z2 - z3) X X ®Zt (? - Z4) ©3 (z4 - y)« (Z1 - Z3) K (Z2 - z4), (VIII) + J d% d% d%d% ©^ (X - Z1) 0? (Z1-Z2) ©g (Z2 - у) X X ©r?r4 (? - *<) (? - *з) » (Z1 - z3)»(z2 - z4), (IX) + / d4*, d% d% d4z4®l°,\ (X - Z1) ©^ (Z1 — Z2) X
X 0?? - ©t,P (? - .У) ^r4I4 (°) ^ «(?-^)- (x) § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 161
Теории возмущений для случая двухчастичного взаимодействия можно придать другую, более симметричную форму, которая оказывается особенно удобной, когда действующие между частицами силы зависят не только от расстояния, но и от спинов. Гамильтониан такого взаимодействия имеет вид
Iiint СО = І ff dr^ dr^a (Гі' Т) Т) 0^ ^7"1 ~~ Г<і) Х
Хфт(г2. т)Мг т). (13.6)
Представим интеграл
1/т
о
входящий в выражение для <5, в симметричном по всем переменным виде
1/т 1/т
і f • • ' / d^ ' ' ' ^4 / ¦¦¦ f drI ¦¦¦ dr2 X
о о
XMr1, ^iHr2C2.-?) ^01T2; T3T4Cj' tI- r2. ^2; rV Ч' Г,. T4) X
хфт4(г4. т4)фїз(г3, T3), или, вводя «четырехмерные обозначения», .\f d% d%d%d%X
