Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Xbl^Ob2(Z2) Z2; Z3, z4)M*4)M*3). (13.7)
Ввиду того, что операторы ^1(Z1) и фт (Z2) (соответственно, фТз (z3) и (z4)) антикоммутируют или коммутируют
в зависимости от статистики, величину J"'0' можно считать в случае ферми-частиц антисимметричной относительно перестановки Z1, J1^=Iz2, у2 или Z3, у3 z4, j4, а в случае статистики Бозе симметричной по тем же переменным.
Определенная таким образом функция J"'0' получается из величины
uTl T2-. T3T4 Cl - r2) 3 С. — S Cl - r3) 8 (T1 - T3) X
Х3(г2-г4)8(т2-т4) 162 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. Iii
антисимметризацией по переменным Z1J1, Z2J2 (и ^зТз' z^ld в случае статистики Ферми и симметризацией по тем же переменным в случае статистики Бозе.
Вычислим поправку первого порядка к гриновской функции. Имеем:
T J '' ' fl^4 c^Vr2; Y3T4 ^1' z^ zZ' z^ X
X (Tx {фа (X) (Z1) фЇ2 (Z2) фї4 (Z4) фїз (Z3)J). (13.8)
Применяя теорему Вика и используя свойства симметрии J"'0', легко убедиться, что (13.8) представляется в виде суммы двух членов
- J С (X - у) f d% .. . d% (z3 - Z1) X
X ^r4V2 ^4 ^2)^ Tj2; T3T4 ^1' ^2'' z3' z^' О Id4^1 '' ' d^zi z^ і"зT4 (zv z2> z3¦ zd X
X%%(z,-m{l4(zz-z2). (in
Будем обозначать на диаграмме Ji^ четырехугольником. Тогда выражениям (I) и (II) можно сопоставить диаграммы
рис. 35. Диаграмма /—несвязанная, и ее вклад учитывать не нужно. Таким образом, в первом порядке теории возмущений мы имеем единственную диаграмму, вклад которой дается выражением (II). § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 163
Bo втором порядке теории возмущений имеется всего Три связанные топологически различные диаграммы (рис. 36). Нетрудно вычислить соответствующие этим диаграммам выражения:
JdZi ... dzg (x—zi) J1T01T2; T3T4 Cb z^ z^ z^ X
X ©т4т5 (z4 ^s) J1T5Te; T7TsCs- z6' zT zn) X X ©т?т6 C7 - *6) Сз- Z2). (I)
Jdz1... dza Z1) J^2; bh(zv Z2; Zi, (Z4 — у) X
X ®ge C3 - *«> ®Sa C7 - ^2) X
X J1T5T6; T7T8 (zS' z6> zT zs) ©т8т5 Cs zs)- CO ~2 J dzi • • • dzi (x zO JT1T2; T3T4 Ci' z2< zz< zd X X ®т?т5 (? — zs) 6?, Cz4 — z6) X X (Z7-Z2) J^6; T7T8C5- ^6; zIi Z8) ®$ C8 - У)- ("О
Вычисление поправки я-го порядка к гриновской функции производится по следующим правилам:
1) следует изобразить все топологически неэквивалентные диаграммы, содержащие п четырехугольников (в нашем
M
Рис. 36.
случае к топологически эквивалентным диаграммам относятся диаграммы, отличающиеся перестановкой каких-либо координат верщин четырехугольников); 164 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
2) каждой линии диаграммы сопоставляется гриновская функция частицы;
3) каждому четырехугольнику сопоставляется функ-
цпя с/(0);
4) производится интегрирование по координатам вершин четырехугольников.
Коэффициент An перед диаграммой определяется точно так же, как и в диаграммной технике при T-=O (см. § 9).
Проще всего, однако, для нахождения коэффициента воспользоваться непосредственно теоремой Вика, расписывая выражение (Гт (фа(х) фр(_у) .. . }) через попарные средние.
Пользуясь этими правилами, не представляет труда записать выражение, соответствующее диаграмме рис. 37:
+ 1/ d% . .. d%2 <> (X-Z1) Ji^. їл (Z1, z2; Z3, z4) X
X 6? (*3-*5)©$e *6> T7T8^. *6; zv z%)X X ©%, (Z1 - z9) ®gio (z8 - z10) X
X ^ST10: T11T12 (?' *io! - ^ia)®r?2? (*i2 ~ У) ®г?,т, (*n ~ гг>-
Возникающие в этой технике довольно громоздкие выражения (сложность которых, правда, искупается их симметрией) очень упрощаются, если мы имеем дело с точечным взаимодействием, описываемым потенциалом
Ts (гг — r2) = XSa3S3vS (гj — г2). В этом случае функция Jly^ имеет простой вид:
T8T4 = Х (sT1TssT2T4-8Y1T45T2T3)5 -?) S (^1 -^з) S (^1 -^4) = = xlT1T2; T3T48 (zI — 8 C2T — 2г)8 (Z1 — ^4). § 13] диаграммная техника в координатном пространстве 165
Благодаря наличию в J"-0) трех 8-функций в выражениях для поправок из четырех интегрирований по координатам вершин четырехугольников остается только одно. Это позволяет заменить на диаграммах четырехугольники просто точками (вершинами). Например, диаграммы II рис. 35
0J
Рис. 38.
и III рис. 36 удобнее рисовать так, как показано на рис. 38; соответствующие им поправки преобразуются к виду
- XLhh, ЇЛ f Sz(S)^ (х - ®г?? (* ~ У) ®Г3т2 (°)- (fl)
T iTiT2: T3T4iT5T6; T7T8 / a^ (х - z1) @jj5 (z1 - Z2) X
X ®56 Cz1 -z2) 0?(Z2-Z1)^Z2 -у). (б)
Общие правила вычислений по такой диаграммной технике очевидны из предыдущего.
Б. Взаимодействие ч а ст и ц с фон он ам и. Взаимодействие частиц с фононами (например, взаимодействие частиц жидкости со звуковыми волнами или взаимодействие электронов в металле с колебаниями решетки) описывается гамильтонианом
HtntW=S / ФаС> О Фа (Л ТМГ' ^dr'
где g— константа взаимодействия.
Легко убедиться, что отличны от нуля лишь поправки к гриновским функциям частиц (S) и фононов 55 в четных порядках теории возмущений. (Выражения для поправок в нечетных порядках содержат нечетное число фононных операторов ср.) Вычисляя выражения для поправок к гриновской функции частиц можно убедиться, что они в точности совпадают с выражениями для поправок к ® в первой формулировке теории возмущений для двухчастичного взаимодействия, если в последних заменить потенциал — z%) на 166 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
