Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
\ 2<о
1 = — —тр01п —д— • В результате получаем:
Д = 2u)0e-^, (34.22)
r I \ I тро „ где С, == . 2^2 • Сравнивая это выражение с результатом
предыдущего параграфа, найдем, что величина щели в энергетическом спектре при абсолютном нуле температур связана с температурой перехода следующим образом:
Д = ^Tc. (34.23).
2. Уравнения при наличии внешнего электромагнитного поля. Градиентная инвариантность. Если сверхпроводник находится во внешнем поле, скажем, в электромагнитном поле, то система уравнений (34.13) несколько усложнится. Заметим, прежде всего, что во внешнем поле все функции уже не будут функциями только разности координат. Введение электромагнитного поля в уравнения (34.13) может быть произведено обычным образом заменой всех производных:
4->V — leA или + (34.24)
соответственно тому, относится ли это дифференцирование к оператору ф или . (Обычно удобно пользоваться 384 ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ [гл. VII
калибровкой, в которой скалярный потенциал ср равен нулю.) Уравнения для функций О и F+ в поле имеют следующий вид:
— t\F(x, x)F+ (х, х') = Ь(х — х'),
-JrHF+(X, x)G(x, лг') = 0. (34.25)
Отметим очевидную градиентную инвариантность этих уравнений. При градиентном преобразовании вектор-потенциала
+ (34.26)
функции G, F и F+ преобразуются каждая своим образом: G(x, x')->G(x, лг')ег>ї<Р«-їС')], F(x, x')->F(x, x')eielf(r)+v(r')\ (34.27)
F+ (X, x')->F+(x, X')e'ieif(r)+?(r')]t
а «щель» |X| F(x, x) или |Xj (лг, x), которая во внешнем поле является, вообще говоря, функцией X, преобразуется по закону
F(x, x)->F(x, х)е2іеч(г\
и+Ґ \ с-+/ N -2 lev (г) (34.28)
F (х, x)~>F (х, х)е f .
Градиентная инвариантность этих уравнений делает возможным последовательное изучение свойств сверхпроводников в магнитном поле. Отмечая градиентную инвариантность уравнений (34.25), следует подчеркнуть, что данный факт связан с написанием гамильтониана взаимодействия в форме (32.3). Строго говоря, гамильтониан (32.2) не является гра-диентно-инвариантным, что, конечно, есть свойство модели. Легко проверить, что в этой модели в уравнения (32.13) входят не F(x, х) — значения функций F и F+ в совпадающих точках, а величины
F(x, X) = J 9 (г — у) 9 (г --Z) F (у, z) dz dy § 34] СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКА 385
и, соответственно, F+(х, х). Функция F (у, г\ t = f), как волновая функция пары, имеет радиус корреляции порядка
размеров пары и при — быстро спадает.
1C
Функции 0 имеют, как указывалось в § 32, о-функционный характер с шириной максимума порядка vjwD. Таким образом, замена F(x, л:) на F (х, х) влечет за собой ошибку порядка TJCBd, которая всегда мала в реальных сверхпроводниках.
3. Сверхпроводник при конечных температурах. В заключение настоящего параграфа рассмотрим вопрос о распространении изложенной схемы на случай отличных от нуля температур. Такое обобщение, очевидно, можно провести на базе изложенной в гл. III техники для T Ф 0. В сверхпроводящем состоянии система характеризуется отличными от нуля средними
(смысл усреднения и определение операторов <]>(JC) и ф4 (лг) те же, что и в гл. III. Напомним, что в качестве независимой термодинамической переменной выбран химический потенциал). Если рассматривать гиббсовское усреднение в определениях 5(лг, х') и (дг, х') как квантовомеханическое усреднение по состоянию с энергией, равной средней энергии Е, и числом частиц, равным среднему числу частиц, то это означает, что рождение или уничтожение пары электронов практически не изменяет состояния. Для этого нужно, чтобы указанная пара электронов принадлежала к числу связанных пар, находящихся в «бозе-конденсированном» состоянии. Поскольку число этих пар очень велико (пропорционально полному числу частиц во всем объеме системы), прибавление или уничтожение одной из таких пар не сказывается на всем состоянии системы. Иными словами, как и при абсолютном нуле, система в сверхпроводящем состоянии имеет в произведениях операторов (|д[) и ф + члены, которые можно рассматривать как числа. Мы предположим, что средние (термодинамические) от произведения четырех
8(*. х')
(ГТ(Ф (-г)ф(-г') ®))
s+ (jf1 *') =
386 ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ [гл. VII
ф-операторов могут быть записаны через функции Грина ©(*, *')=—<7т(ф(*)ф(*0©))/<6> И функции g(x, х') и g+ (X, хг), так же как это было сделано в выражении (34.4) при абсолютном нуле. Как и выше, это означает пренебрежение эффектами рассеяния частиц друг на друге. Имеем:
(Гх(ф„ (*i) Фр (X2) фт (X3) ф6 (x4) S))
= х3) Og5 (д:2, JC4)+ 0.8 С*,, X4) ®р7 (jc2, X3) +
+ ga? (jc,, *2)gr+Oc3, jc4). (34.29) Мы не будем здесь повторять соответствующего вывода уравнений для функций © и g+. Он вполне аналогичен выводу (34.13); приведем только окончательный вид этих уравнений:
= I(X-Xf). (34.30)
где
A= 1*18(0+), A*=|X|g+(0+). (34.31) Иногда возникает необходимость в определении функции g (х — х'). Соответствующее уравнение может быть легко получено:
Сюда входит функция © с переставленными аргументами.
