Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
я
7 г ?/Vsin36rf6 (^-J^-u- (37-13>
ш 0
Отметим, прежде всего, что в этом интеграле чрезвычайно существен порядок, в котором производится суммирование по частотам и интегрирование по В самом деле, при интегрировании сначала по ? полюсы подынтегрального выражения при любом знаке ш лежат по одну сторону от вещественной оси, вследствие чего результат оказывается равным нулю. Просуммируем теперь в первую очередь по частотам ш = (2га -j- 1) u7\ Легко проверить, что в результате суммирования этого простого ряда возникает следующее выражение:
TT
IZsin36d6/w[th w-b&h-1- <37Л4>
о
Причина такой неоднозначности от изменения порядка интегрирования и суммирования кроется в формальной расходимости всего выражения. Как видно, однако, суть дела состоит в том, что при суммировании в первую очередь по частотам оказывается, что результат суммирования отличен от нуля только в очень узкой области энергий вблизи поверхности Ферми (эта область, как следует из (37.14), имеет ширину — (vk)). В этой области интеграл по импульсам оказывается быстро сходящимся, и только поэтому выражение для энергии возбуждений, отсчитываемой от поверхности
_р2
Ферми, можно приближенно написать в виде ? = —^— —
~г>(|/>| — P0). По этой причине в интегралах рассматриваемого типа всегда надо сначала суммировать по частотам, а уже потом интегрировать по поскольку в противном случае интегрирование по $ захватывает область \\р\ — р0| — р0, где § 37] СВЕРХПРОВОДНИК В СЛАБОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 405
проведенное нами разложение всех величин около поверхности Ферми становится непригодным.
Можно, однако, избежать необходимости производить довольно сложное суммирование по частотам в (37.12). Для этого поступим следующим образом. В подынтегральном выражении (37.12) прибавим и вычтем соответствующее выражение (37.13) для нормального металла. Тогда интеграл и сумма по частотам от разности подынтегральных выражений быстро сходятся, благодаря чему в этом члене можно менять порядок суммирования и интегрирования. Соответствующее выражение для нормального металла было вычислено в (37.14), оно сокращает единицу в (37.12). Интегрируя по получим:
QW = -^S --п--(37.15)
4 V^ + Д2 m» + Ai + .i»«|A|v
Дальнейшее преобразование этого ядра затруднительно, если не сделать тех или иных предположений о величине J AI. Из структуры подынтегрального выражения видно, что играет роль только соотношение между величиной г>| k I и температурой перехода Tc. В самом деле, при Т<^ТС щель Д0 имеет порядок Tc, вблизи Tc, т. е. при I 7—ТС\<^ТС, величина
щели мала, но зато со = (2га 1) u7~ Tr. Величина размер-> v
ности длины L1------ играет роль характерного параметра
* с
современной теории сверхпроводимости, это есть радиус корреляции связанных электронов. Глубина проникновения 8 может быть как больше, так и меньше I0. В первом случае
существенные I k j—'у удовлетворяют неравенству v\k\<^Tc,
тогда как второй случай описывается обратным неравенством v\k\ ;э> тс.
Рассмотрим сначала первый случай. Пусть v\k\<^Tc. В выражении (37.15) оставим только первый неисчезающий член разложения по v\ k |: +і
Q(A) = ^a27V Г (1 — Ij-2) dJj- _ гсТД2 V-1 (37.16)
Таким образом, при 8^*? ядро Q(k) не зависит от k и связь тока с полем носит локальный характер в том 406
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
смысле, что значение тока в данной точке г определяется только полем А (г) в этой же точке:
j(r) = ~^-A(r). (37.17)
Уравнение такого вида было впервые предложено Г. Лондоном и Ф. Лондоном [62]. Поэтому случай сверхпроводника, в котором естественно назвать лондоновским. Функ-
ция Ns(T) играет роль числа «сверхпроводящих» электронов.
N (T)
Формула (37.16) выражает отношение —s^ как функцию
от температуры. Подчеркнем, что фигурирующая здесь щель Д есть равновесная щель в отсутствие поля при данной температуре, определяемая из условия (34.37). При T= 0 суммирование по частотам можно заменить на интегрирование: 2кТЪп = (1ш. Вычисляя интеграл, мы получим, что при Г= О число сверхпроводящих электронов равно полному их числу N.
Вблизи Tc величина Д(Г) мала по сравнению с Tc и ш. Пренебрегая в знаменателе Д2, получаем ряд
Ns(T) __ 2Д2 у 1 N ~ Tt2T2 Lk (2п + 1)3 '
п> 0
который уже вычислялся нами в § 36. Используя выражение (36.6) для величины щели вблизи Tc, находим, что в рассматриваемом случае
Рассмотрим теперь второй предельный случай v\k \ Tc.
Подынтегральное выражение имеет полюсы в точках
= ± / ")/(1)2 -|-Д2. Поскольку VI k I велико, это означает, что подынтегральное выражение имеет резкий максимум в области T
углов Поэтому членом C [X2 в числителе можно
пренебречь по сравнению с единицей. Остающееся выражение представляет собой быстро сходящийся интеграл по jj-, причем выражение, стоящее под знаком интеграла, убывает как 1Дл2 T
в области [X 1. Сделав замену v \k |[х = х и полагая § 37] СВЕРХПРОВОДНИК В СЛАБОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 407
пределы интегрирования равными бесконечности, вычислим интеграл с помощью теории вычетов:
