Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
только выходящие внешние концы и соединенные двумя электронными линиями. Ядро интегрального уравнения (33.4) содержит большой ло-і • гарифмический член от интегриро-
вания двух функций Грина. В силу малости константы взаимодействия в качестве величины Г достаточно взять ее выражение через первые рис gg^ члены теории возмущений, посколь-
ку соответствующие выражения для Г не содержат больших величин. Мы, однако, поставили себе целью вычислить ядро уравне-
(!)
ния (33.4), не ограничиваясь членами порядка Xln-—
W0
попытаемся найти его выражение с точностью до членов порядка X включительно. На первый взгляд поэтому кажется, что для этого надо было бы знать величину Г с то шостью до членов порядка X2 по теории возмущений, поскольку логарифмическое интегрирование в (33.4) может компенсировать один порядок по X. Рассмотрим члены второго порядка теории возмущений для Г. Соответствующие диаграммы приведены на рис. 89. Оценим величину матричного элемента, отвечающего, например, диаграмме а). Опуская численные коэффициенты, получим:
X2
J G (I) G (I — k + P1) d4. § 33] ФЕНОМЕН КУПЕРА
371
Подставляя выражения для гриновских функций, проинтегрируем по частотам:
(33.5)
Фактически область интегрирования по I значительно уже, чем если бы она определялась только последними условиями. Это связано со свойствами модели, в которой взаимодействовать могут только электроны с импульсами в окрестности ферми-евского импульса [ v(\p\ — р0)\ < wD. Фактическая область интегрирования заштрихована на рис. 90 для первого и закрашена черным для второго условия в выражении (33.5) (Ik-P11 < 2р0\ если Ift—pJ > 2р0, область интегрирования вообще отсутствует). В обоих случаях значение разности є (/ — ft-I-P1) — є (I) в знаменателе подынтегрального выражения в рассматриваемой области равно по порядку величины Шд, тогда как объем области, по которой производится
2 2 mr<s>D
интегрирование, есть--. Таким образом, порядок ве-
Pa
личины матричного элемента для диаграмм рис. 89 есть
Hl2Oln
к2 -—, т. е. их относительный порядок по сравнению
Pa
01
с простой вершиной есть (Ktnp0)-^-. (Безразмерным малым
?f
параметром в рассматриваемой модели является, как видно из (33.3), величина Xmp0 1.) Поскольку по своему физическому смыслу wD eF, то эта дополнительная малость не может быть компенсирована в рассматриваемой области большой величиной логарифма. В силу этого в уравнении (33.4) для величины Г можно ограничиться простой вершиной первого порядка теории возмущений (33.1).
Получающееся уравнение для вершинной части теперь может быть легко решено. Для этого заметим, что, как видно
Рис. 90. 372
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
из выражения (33.3), Qp1, р2\ pv р4) зависит только от суммы переменных q= рх-\г P2- Поэтому интеграл в правой части (33.4) сводится' к уже вычисленному нами интегралу для матричного элемента второго порядка теории возмущений (33.3). В результате получаем (ш0 > v{q{):
T^fAPv P2I Pv Pa)^ Г(?)(8вї8рї-8в,8рт).
T(q)=l 1 +
Itnp^ 2л2
I 2со
Ine —5-
W 1
J---1--In
г 2 г 2
Vltfl2
+
2«!«
г In
Mp-Plgl
(33.6)
2. Свойства вершинной части. Для простоты рассмотрим сначала выражение (33.6) при q = 0. При вещественных и положительных ш0 имеем:
rK) =-Twrvr1^-ZTT' (33.7)
1+(? ^V 2л2
in
+ -
Будем рассматривать теперь Г(ш0) как функцию комплексной переменной (u0, определяя ее как аналитическое продолжение (33.7) в верхнюю полуплоскость Im (U0 > 0. Тогда получим:
T(U)0) = - Х
/Xmn \ Г 2u)_ пі \
Таким образом, если взаимодействие имеет характер притяжения (X < 0), величина Г(ш0) имеет полюс в точке ш0 = /2, где
2it2
(33.8)
Q — 2ш De Iя' mP*. В окрестности полюса Г(ш0) имеет вид Г, ч 2л2 IQ
Этот результат следует связать с упомянутой идеей Купера об образовании связанных пар электронов. Вершинная часть Гвр ?(/?!, P2, pz, рА) определяется через компоненты Фурье двухчастичной функции Грина соотношением (10.17). Поэтому наличие полюса в величине Г приводит к такому же § 33] ФЕНОМЕН КУПЕРА
373
полюсу в двухчастичной функции Грина. Образование связанных пар означает неустойчивость основного состояния газа взаимодействующих ферми-частиц, из которого мы исходили. Наложение сколь угодно слабых сил взаимного притяжения между частицами повлечет за собой перестройку всей системы. Существование неустойчивости находит свое отражение в появлении полюсов у вершинной функции по переменной (U0 = Ca1 —J— CO2 в верхней полуплоскости. Этот полюс, будучи чисто мнимым, определяет время релаксации неустойчивого основного состояния. В силу принципа неопределенности это время соответствует энергии связи реальной пары. В перестроенном основном состоянии пары ведут себя, как бозевские образования, и, подобно тому, что имеет место для обычных бозе-частиц, способны накапливаться в произвольном количестве на уровне наименьшей энергии. В сверхпроводящем состоянии эти пары находятся на уровне с импульсом движения пары как целого, равным нулю, в полной аналогии с тем, что происходит при «бозе-конденсации» обычных бозе-частиц.
