Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно проверить, что совокупность четырех уравнений для функций ®(jc-Jc'), g+ (X — х'), $(х — х') и
®(jc' — jc) может быть символически записана в матричном виде:
V»
-+ж-М,
дх
/®(х-х>) g(*-*')\ . XI . „ = 1. (34.32)
Vg+U- X')-® (Xf-X)J ' § 34] СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКА 387
Иными словами, перечисленные четыре функции образуют одну матричную функцию Грина для оператора в левой части (34.30).
В температурной технике вместо разложения в интеграл Фурье по частоте производится, как мы знаем, разложение всех величин в ряды Фурье. Как видно из написанных уравнений, если ввести компоненты Фурье для функций g и так же, как в гл. III были введены компоненты функции Грина:
S+ <* - *') - (2*Г3 г Ve-"V J dpe,pr<& (P).
J, , - (34.33)
S (X - *') = (2<г3 T2, <T/UV f dpelpr%a (р),
(34.34)
где (о = (2л -f- 1) it7, то системе (34.15) соответствует система
(Ш - 0 ©ш (р) 4- Ag: (/»)=1. (А0 + 9& (р)+-Дг©ш(р) = 0,
которой удовлетворяют
= ~ „» + р + д» ' & (P) = V+^ + А* • (34'35>
Отметим также, что в отсутствие поля функции § и равны друг другу, а Д вещественно. Это решение в отличие от ситуации, имевшей место для системы (34.15), уже однозначно. Это связано с тем, что для термодинамических функций однозначно определены их аналитические свойства. Величина щели определяется из условия
— (2І)3 S / <о + ЄЧ- Д2 • (34.36)
Ряд по частотам легко суммируется. В результате вместо условия (34.21) при 7=0 мы получаем новое соотношение, из которого определяется величина щели при конечной температуре:
D /6»+А» (7-)
IM ^o f м __2T
1=™ d\ . " . (34.37)
2я { /?2 + Д2(7) 388
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
В точке фазового перехода, т. е. при температуре T= Te, щель Д (T) обращается в нуль и условие (34.37), как и должно быть, переходит в условие (33.15), из которого определяется температура перехода Tc.
§ 35. Вывод уравнений теории сверхпроводимости в фононной модели
Остановимся на выводе уравнений теории сверхпроводимости в модели, в которой электроны взаимодействуют друг с другом через посредство электрон-фононного взаимодействия. Разумеется, такая модель страдает тем же недостатком, что и рассмотренная выше схема, поскольку в ней не учитываются действующие в металле кулоновские силы. Тем не менее она, конечно, имеет более непосредственный физический смысл, чем модель с четырехфермионным взаимодействием, хотя в смысле получения практических результатов последняя несколько удобней. Основное преимущество фононной модели состоит, прежде всего, в том, что гамильтониан электрон-фононного взаимодействия (32.1) является градиентно-инвариантным с самого начала в отличие от схемы с гамильтонианом четырехфермионного взаимодействия (32.2), являющейся градиентно-инвариантной только приближенно в силу соотношения Tc u)D. Что же касается этого соотношения, то оно выполняется, вообще говоря, лишь в приближении слабой связи '). Ниже мы покажем, что ограничение слабой связи не является существенным в теории сверхпроводимости и что фактическим малым параметром рассматриваемой теории служит только отношение wDjep<^\ (wD/eF~ u/v—Ю-2-;- Ю-3, где и — скорость звука в теле, а V — скорость электронов на поверхности Ферми)2). Мы ограничимся выводом уравнений при абсолютном нуле температур.
Итак, пусть гамильтониан взаимодействия системы электронов и фононов имеет вид
Hlnt(X) = +(*)$(*))? (X).
') Для реальных сверхпроводников, однако, всегда имеет место Tc <С «д.
2) Электрон-фононное взаимодействие в теории сверхпроводимости изучалось в [57, 58]. § 35]
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ В ФОНОННОЙ МОДЕЛИ
389
Если система находится в сверхпроводящем состоянии, то, помимо функции Грина О, ее свойства характеризуются еще двумя функциями F и F+. Поэтому вместо обычного уравнения Дайсона (§ 21) необходимо изучать, вообще говоря, три уравнения, связывающих между собой три функции:
0.р (X, X') == _ / <Г(ф. (X), (*'))> г Sa3G (X - X'),
(X, X') = (T^Ux), ^ (X'))) = I^F+(х-X'), (35.1)
F^ix, = (7" $.(*),? (*'))> =-Ia9F (х-X').
Что касается уравнения для фононной функции Грина
D (X1-X2) = - і (Г(Ф (X1), ср (х2))),
то, как мы увидим, оно останется почти без изменений.
Уравнение для функции Грина можно получить из диаграммной техники теории возмущений. Подобно тому как это имело место для системы
бозе-частиц ниже ТОЧКИ «бозе- ?fx-x'J Ґ(х-хУ конденсации», совокупность T х" X X' х -X' возможных диаграмм теории возмущений расширяется за ^lic-
счет появления в них линий,
соответствующих функциям F и F+. Условимся изображать на диаграмме функции О, F+ и F жирными линиями с двумя стрелками, направление которых в точках х и х' выбрано
*#•» < S.
Рис. 92.
в соответствии с (35.1) так, чтобы оператору ф в данной точке отвечала стрелка, направленная от точки, тогда как оператору ф+ — стрелка в направлении к точке. Все три линии показаны на рис. 91. Тогда легко видеть, что в полной аналогии с газом бозе-частиц имеются три типа неприводимых собственно энергетических частей, которые мы обозначим через S11 (х, х'), S20 (х, х') и S02 (х, х'). На рис. 92, 390
