Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
r-, дЕ
По определению химический потенциал \х=-щ-, поэтому
величина разности энергий EN+2 — En равна 2[х.
При подстановке в уравнение (34.3) для функции Грина выражения (34.4) мы будем всюду опускать первые два члена в правой части (34.4), поскольку в уравнениях для функций GhFh F+ они, как легко убедиться, приводят к аддитивной добавке к химическому потенциалу и не представляют интереса. В результате получаем следующее уравнение, связывающее функции О и F+:
{'" Ж+ х- ilF (0+)F+(x-x') = b(x-x').
(34.6) 380 ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ [гл. VII
(Здесь G, F, F+ означают запись функций Ga?, Fctр, /? в матричном виде по спинорным индексам, их произведение есть матричное произведение.)
Величина F (0+) определена следующим образом:
F<-9 (0 +) = е^ (NI (х) (х) IN + 2) ==
= Iim Fa,(х — х'). (34.7)
Уравнение для F+(х — х') может быть получено аналогичным образом применением второго из уравнений (34.2):
Iі ж~ш — 2^ (х - х'} + +>0 (х - х') =
(34.8)
В соответствии с (34.7)
/?(0 +) = e~W(N + 21 (х) (x)\N). (34.9) В отсутствие взаимодействий, зависящих от спинов частиц,
функция Грина G(х — х') пропорциональна единичной матрице 8a? по спиновым переменным:
G^(x — x') = \f(x — x').
Функции FnF+ пропорциональны матрице /, антисимметричной по своим индексам. Действительно, поскольку операторы фа(х) и фр(х') антикоммутируют в один и тот же момент времени, то Z7ap (г—г', 0)=—0). Отсюда следует:
{F+(r-r\ 0)}' =-Z7ep(г-г', 0). (34.10)
В частности,
{П+р(°+>Г =-jfV0+)- (34.11)
Удобно написать FnF+B следующем виде: F+ (X — х') = IF+ (х — х'),'
(34.12)
F (X — х') = — IF (х — х'), •'Де (1% = ~КГ § 34] СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКА 381
Из (34.10) видно, что F+ (х— х') и F (х— х') удовлетворяют соотношению
[F+(г — ґ, О)}* = F(r — r', 0).
Антисимметрия F и F+ по спиновым индексам отвечает тому факту, что связанные пары находятся в синглетном состоянии. Функция Fap (г— г', 0) с точностью до множителя может, очевидно, рассматриваться как волновая функция пары частиц в связанном состоянии (центр инерции пары покоится).
Напишем систему уравнений для функций, исключая всюду зависимость от спиновых переменных:
{<¦ 4г+S ° - -iiF (°+)F+ (х - =8 -х')•
(34.13)
{1 ж - ш -ЧF+ (х - х'} +iXF+ (0+) 0 {х — х'} =
где (F(0+))* =/^+(0+).
Вводя компоненты Фурье всех величин, получим!):
(ш - Ъ^) 0 {Р) - ilF W+(P) = I.
(34.14)
(ш +^ - 2[*)/=-+ (р) + CkF+ (0 +) О (р) = 0.
Предыдущее рассмотрение было проведено в термодинамических переменных, где число частиц задано. Гораздо удобнее пользоваться в качестве независимой переменной химическим потенциалом (х. Как обычно, переход к этим переменным формально может быть осуществлен заменой (u = (u' + [x. Опуская в дальнейшем штрих у частоты, перепишем систему (34.14):
(со — 0 О (р) — HF (0 +) F+ (р) = 1,
(34.15)
(о) + ї) F+ (р) + HF+ (0 +) О (р) = 0,
') Эта система уравнений имеет большое сходство с системой
уравнений для функций G' и О в бозе-системе. Надо иметь, однако, в виду, что аналогом функций FnF+ служат в этом случае операторы ?0 и S01" частиц конденсата. Поэтому мы пользуемся обозначениями OnF+B отличие G' и G для бозе-частиц. 382 ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ [гл. VII
где % = v(\p\—р0), р0 ~ V^m^—граничныйимпульсФерми,
V=-Bs-.
т
В результате решения найдем:
°(Р) — и2 - J2 - Д2 ' ^ (P)- — ^ 0)2_І2_Ь2
и
Д2 = X21^+(0+) I2. (34.16)
Детерминант левой части системы уравнений (34.15)
обращается в нуль в точках со = ± е(р), где е (р) = У ^2 -)- Д2-Поэтому решение (34.15) получено с точностью до произвольных членов вида
Л! (P) 8 (<0 — S (P)) + A2 (P) 5 (<0 + S (P)).
Граничным условием, определяющим выбор произвольных A1 и A2 в функциях G и F+, служит теорема Ландау (гл. II), согласно которой знак мнимой части функции Грина G противоположен знаку ш, а функция
Gr (со, р) = Re G (ш, р) + is (<о) Im G (<о, р)
должна быть аналитической и не иметь особенностей в верхней полуплоскости. Нетрудно проверить, что решением, удовлетворяющим этим требованиям, является'):
uI <
O(P) =-А I .-и--І—А-тг> (34.17)
F+ (P) = - Ik7-, ч ,^tw -7-т—^г' (34.18)
где функции м2 и V2p равны
"1=4(1-мЫ- (34Л9)
') Мы выбрали F+ (0 -)-) вещественным. Последнее всегда возможно в отсутствие внешнего поля, поскольку уравнения (34.13) допускают преобразование {F(x— х'), F (0 +)}-> {F (х — х') е2'?, F (0 -f) e2i'f} и {F+ (X — X'), F+ (0 +)> {F+ (х — х') F+(0+)е~2'?} с постоянной фазой. Подробнее об этом ниже, в разделе 2. § 34] СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКА 383
Положительный полюс cu = s (р) в функции Грина (34.17) определяет спектр возбуждений S(P)==Y*? А2- Этот спектр имеет щель Д, для определения которой будем исходить из соотношения
F+(O) = Clizyi J F+(P) du dp. ' (34.20) Подставляя сюда (34.18), получим уравнение
1 =_ . / dp -. (34.21)
2 (2л)3 J Yi2 + Д2
Расходимость в этом интеграле обрезается из условия, что в рассматриваемой модели во взаимодействии участвуют только электроны с энергией в слое толщиной 2Шд около поверхности Ферми. Выполняя интегрирование, найдем:
