Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
JV- 0^=-IJ-Ar' (ЗЗЛ4>
где температура перехода Tc равна
( ™ ч
Тс = ±2шве VlMmp0/. (33.15)
Значение частоты Q, введенной нами выше и характеризующей неустойчивость системы при абсолютном нуле, равно
Q = -Tc. (33.16)
§ 34. Система основных уравнений для сверхпроводника
1. Сверхпроводник при абсолютном нуле температур.
Приступим теперь к выводу системы уравнений для гриновских функций, описывающих свойства металла в сверхпроводящем состоянии (Горьков [59]). Для начала ограничимся § 34] СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКА 377
случаем абсолютного нуля температур. В рассматриваемой модели полный гамильтониан системы электронов в записи вторичного квантования имеет следующий вид:
где (ф+ф) = ф+фа и операторы ф(г) и ф+ (г) в шредингеров-ском представлении удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям
(tc). ф?" (г')} = M С--*¦').
(34.1)
{ф. (Г), фР (/¦')} = (ф*+ (г), фР+ (г')} = 0. Перейдем к гайзенберговскому представлению, в котором
операторы фиф+ зависят от времени и подчиняются следующим операторным уравнениям:
{' 4г+ ш} Ф«(х) - х (Ф + W Ф (*)) (*) =
(34.2)
{' -W- + ХФ»+ <*> W Ф )=°-
Уравнение для функции Грина системы
Gap (X, X') = — і (Т (фа (х) фр+ (X'))) очевидным образом может быть получено из уравнений (34.2)
{* Ж+ Sr} 0^ Х')+А <7(<Ф + (xHW) Ф- (*)' (*')))=
= Ь(х — х'). (34.3)
Фигурирующее в этом уравнении среднее от произведения четырех ф-операторов для системы невзаимодействующих электронов распадается по теореме Вика на парные средние операторов ф и ф+. Для взаимодействующих частиц произведение четырех ф-операторов выражается уже через вершинную часть, т. е. включает в себя вклад от различных процессов рассеяния. В изучаемой модели со слабым взаимодействием рассеянием различных частиц друг на друге можно 378
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
пренебречь. В то же время надо учесть, что основное состояние системы отличается от обычного состояния с заполненной сферой Ферми присутствием связанных пар электронов. Такие пары, как это уже отмечалось в предыдущем параграфе, представляют собой бозевские образования и потому обладают способностью накапливаться в произвольном количестве на уровне с наименьшей энергией. В отсутствие внешнего поля и в пренебрежении процессами рассеяния пары, очевидно, «конденсируются» в состоянии, в котором они как целое покоятся. Рассмотрим произведение операторов фф или ф+ф + - Первое из них уничтожает, а второе рождает два электрона. В частности, эти два электрона могут находиться в связанном состоянии, иными словами, в операторах фф и ф+ф+ имеются члены, отвечающие уничтожению и рождению связанных пар, в том числе пар, находящихся на основном уровне. Поскольку таких пар много (число их пропорционально полному числу частиц), то соответствующий вклад в операторы фф и ф^ф"1- можно считать числом, подобно тому как это делалось для системы бозе-частиц. Заметим, что в металле существуют особые причины для того, чтобы не рассматривать пары, находящиеся не на основном уровне. Действительно, связанная пара электронов с конечным импульсом движения как целое представляет собой бозевское возбуждение с нулевым спином. Как мы уже упоминали, условие электронейтральности в металле фактически приведет к тому, что для возбуждения такой пары из «бозе-конденсата» потребуется значительная энергия (— 1 эв), что гораздо больше характерных энергий, с которыми приходится встречаться при построении теории сверхпроводимости.
Возвращаясь к уравнению для функции Грина (34.3), с учетом всего сказанного можно определенным образом расписать среднее от произведения четырех ф-операторов. Имеем, например:
(T(tya (X1) фр (X2) ф + (X3) (X4))) =
= - <Т(фа (X1) Фг+ (X3))) (Т Cb (X2) ф6+ (х4))) +
+ (Г(фа(X1) фй+ (X4))) (Г(фз (X2) фт+ (X3))) +
+ (NIT (фа (X1) фэ (X2)) j yV+2) (yV+21 Дфт+(х3) ф5+ (х4)) | N),
(34.4) § 34] СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКА 379
где N) и N + 2)— основные состояния системы с числом частиц N и N2. Такая запись означает, что мы пренебрегли всеми эффектами рассеяния частиц друг на друге. Наличие взаимодействия учтено лишь постольку, поскольку оно приводит к образованию связанных пар. Третий член в правой части равенства (34.4) написан в полной аналогии со случаем бозе-газа в соответствии с тем, что большое число связанных пар «сконденсировалось» на основном уровне. Величина
(NI T(H) IN 4- 2) (N + 21 T(^+) IN).
очевидно, имеет порядок плотности числа пар.
Легко убедиться, что введенные таким образом величины можно записать в виде
(N17(фв (X) фэ (Xf)) IN + 2) = e-WFat (X — х%
(34.5)
(N + 217-($«+ (X) (xf)) I N) = eWFtt (X — х').
Для однородной задачи (в отсутствие внешнего поля) функция Грина 0(х — х') зависит только от разности координат л; — х'. Происхождение дополнительной зависимости от t в выражениях (34.5) видно из общей формулы квантовой механики для производной по времени от произвольного оператора A (t)
-^(N\A(t)\N + 2) = i(EN- En+2) (NI A (t)І/V + 2).
