Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
При отличных от нуля VI q | выражение (33.6) можно записать в следующем виде (о)0 > V I q |):
Г (*. и)0) = Ці +Ь/) [lne ^f +Т-/<Р-
--In / і — ч——in Г0-" lg^ 1 Г1
2 \ 4 J 2v\g\ WHkl/J J '
После продолжения в полуплоскость Im W0 > 0, используя определение й (33.8), найдем:
^—^{^--'+И'-Т)-
При малых VIq\<^. S
„, . 2л2 №
T(q, (U0):
тра со0—/2+І (г/21 q |г/щ •
Равенство нулю знаменателя (33.9) определяет полюс Г (q, ш0) как функцию При малых
IQ
V 6S22 )' 374
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
т. е. абсолютная величина ш0 уменьшается. При некотором значении ^Ig1Imax точка полюса ш0 становится равной нулю, после чего при ббльших v\q\ полюс в Г отсутствует. Значе-ние v I Я Imax, при котором ш0=0, легко определяется:
vIerL.* = *2- (33-1°)
Поскольку q есть импульс системы двух частиц как целого, этот результат означает, что тенденцию к образованию связанных пар проявляют электроны, движущиеся почти навстречу друг другу.
3. Определение температуры перехода. Отметим еще раз, что изложенные соображения свидетельствуют о неустойчивости обычного основного состояния системы «притягивающихся» частиц при низких температурах. Эта неустойчивость состоит в способности частиц, центр инерции которых почти покоится, образовывать связанные пары, т. е. своего рода бозе-частицы, которые «конденсируются» на основной уровень.
Температура, при которой впервые возникает такая неустойчивость, и будет температурой перехода металла из нормального в сверхпроводящее состояние.
Для ее определения можно воспользоваться упомянутой аналогией с газом бозе-частиц. В приближении, в котором мы пренебрегаем рассеянием частиц друг на друга (модель со слабым взаимодействием), связанные пары образуют идеальный газ. Как известно, температурная гриновская функция идеального газа бозе-частиц имеет вид:
и представляет собой значения в точках ш = шп = /2дтгГ аналитической в верхней полуплоскости ш функции GR(q, ш).
Эта величина при шп = 0 равна [ja—. При некоторой
температуре T= T0, называемой температурой «бозеконденса-ции», эта величина впервые обращается в бесконечность в точке q = 0. Температура T0 определяется условием |а — 0.
Для связанной пары аналогом такой функции Грина бозе-частиц является двухчастичная фермионная функция Грина (16.5). Последняя в точке перехода должна обладать аналогичными § 33]
ФЕНОМЕН КУПЕРА
375
свойствами в смысле своей зависимости от переменных ш0п = ((U14- ")2)л и Q = Pi+~Р2> соответствующих центру инерции пары. Фермионные гриновские функции в выражении (16.5) никакими особенностями по этим переменным не обладают. Поэтому рассмотрим вершинную часть Jt (q, ш0) (мы опускаем всюду спиновые индексы, смысл д и ш0 указан выше) и определим ее как аналитическую функцию в верхней полуплоскости (u0, совпадающую в точках ш0 = і (W1 -(- w2)n с вершинной частью в термодинамической технике. Иными словами, функция Jj (д, ш0) есть аналитическое продолжение термодинамической вершинной части J"^ 5 (/J1Cu1, р2ш2; pzш3,
P^=J1 (Я> шо)(Кі%ь—Кь\п) (ниже мы убедимся, что в интересующем нас приближении эта величина, подобно (33.9), действительно зависит только от переменных д и ш0). Мы предположим на основании предыдущего, что при температурах ниже температуры перехода J1 (д, ш0) имеет полюсы Im Cu0 > 0. При температуре, равной температуре перехода, в функции J1 (д, cu0) впервые появляется полюс ш0 = 0.
Необходимое уравнение для термодинамической вершинной части имеет ту же структуру, что и (33.4):
tfafrft Р2ш2' Рзшз> P^d=Jafr fb(PiMv Р2ш2'Рзшз> РЛ)-
— 2(Ly Ij / «чP^' kw>' ч — A<uo — X
со'
X ©(&)©(?—fyj^^ikw', Acu0-(U';/73(U3, P4CU4) dk, (33.11)
где опять Jt есть сумма матричных элементов для всех тех диаграмм, которые не могут быть разделены вертикальным разрезом на две части, соединенные двумя одинаково направленными линиями. По тем же причинам, что и выше, для
<Ta$,-fi(PlM\< Р2Ш2> РйШ3' Piwd МОЖНО ограничиться первым приближением теории возмущений. Задача нахождения вершинной части тогда сводится к вычислению суммы и интеграла в матричном элементе:
¦ --(^r7S f®(k)®(q — k)dk. (33.12)
О)'
Подставляя сюда для гриновских функций (14.6), легко произвести элементарное суммирование по частотам. 376
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
Мы не будем вычислять (33.12) при произвольных значениях ш0, \q|. Из соображений однородности ясно, что, как в бозе-газе, полюс в J' (q, ш0) впервые появляется для значений (D0=ItfI=O. Поэтому достаточно найти решение уравнения (33.11) при ItfI = (J)0 = O. Момент, когда эта величина обращается в бесконечность, определяет температуру перехода из нормального в сверхпроводящее состояние. При tf| =W0 = O интеграл (33.12) можно преобразовать:
I2
"2^mPo
[после интегрирования по частям, поскольку остающийся интеграл сходится, предел X = шв/2Т можно заменить на бесконечность. Интеграл равен —1п(2-[/7г), где In f = С = 0,577]. Таким образом,
Вблизи температуры перехода это выражение можно записать как
