Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Однако прежде чем написать соответствующий результат для ©LV. г'), рассмотрим более подробно структуру уравнений (37.7).
Система (37.6), а следовательно, и (37.7) градиентно-инвариантны, т. е. инвариантны относительно преобразований (34.26) и (34.27). Поэтому при вычислении тока j(r), в линейном приближении равного
/W = -S-т2(Уг'-УЛ'-гвЙ}(г. Ґ)(37.8)
ш
окончательный результат может зависеть только от поперечной части вектор-потенциала А. Иными словами, добавление к А градиента произвольного скаляра ср: А—> А-\--~ не может изменить величины тока У (г).
Что же касается ©^ (г, г'), S^w (г> г'), то они, согласно (34.27), отнюдь не инвариантны относительно такого изменения вектор-потенциала. То же самое относится и к величинам Д(1) (г), Д*(г), фигурирующим в правой части (37.7) и которые сами должны определяться из интегрального уравнения:
Д* 1V) =14 7 2 S^V- г').
ш
При произвольном A(r) А (г) есть, вообще говоря, некоторая неизвестная функция потенциала А. Можно тем не менее утверждать, что в линейном по полю приближении в силу однородности задачи функция Д*(1)(г), будучи скаляром, зависит только от величины div А. Благодаря этому обстоятельству, если выбрать калибровку вектор-потенциала А (г) так, чтобы
div Л = 0,
то оказывается возможным существенно упростить задачу, поскольку при таком выборе А (г) функция Д*(1)(г) тождественно обращается в нуль. Получаемый ниже результат относится только к чисто «поперечному» вектор-потенциалу А (г).
Изложенный прием с обращением Д*(1), Д(1) в нуль удается обобщить так, чтобы им можно было пользоваться в задачах. 402
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
не обладающих пространственной однородностью в отсутствие поля (скажем, сверхпроводник конечных размеров в магнитном поле). В этих случаях образовать скаляр можно из поля А(г) и вектора г или какого-либо другого вектора, характеризующего задачу. Поэтому в общем случае неоднородной задачи в уравнениях (37.7) (теперь в этих уравнениях под ©о и g0 следует подразумевать гриновские функции рассматриваемого тела с соответствующими граничными условиями) Д(1) (г), Д*(1) (г) зависят как от продольной, так и поперечной составляющих вектора А (г). Всегда можно, однако, так выбрать продольную часть Лпрод = grad ср, чтобы Д(1>, Д*(1> обратились в нуль. Что же касается функции ср, для которой это условие выполняется, то она может быть найдена из условия divj=0, т. е. из условия сохранения заряда.
Вернемся теперь снова к уравнениям (37.7) для бесконечного сверхпроводника. Полагая Д(1)(г) = 0 и пользуясь (34.32), получим для линейной по полю добавки ©l!'(r, г') к функции Грина следующее выражение:
(г' ґ) = I" / (r - G (А W V) с - r') +
+ Зо* (/ - г) (А (I) V) д0+ш (r' -1)} dl. (37.9)
В этой формуле мы уже воспользовались условием div Л = 0, вследствие чего можно считать, что дифференцирование в скобке (.A(Z)V) относится только к функциям ©0ш (I — г') и gib (f' — Плотность тока j(r), согласно (37.8), равна
т = — т 2 (Vr- Vr.) / {©0Ш (Г -1) (.4 (I) V) ©0ш (1-Ґ) +
Ш
+ S0ffl (' - (A (I) V) goto (Г' - 0} r>+r А (г). (37.10)
Удобно перейти здесь к фурье-представлению, введя обычным образом компоненты Фурье для плотности тока j (г) и потенциала А (г):
j ^ = Wyf j Weikr dk• A ^ = IA eikr dk¦ § 37] СВЕРХПРОВОДНИК В СЛАБОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 403
Уравнение для связи компонент У (ft) и A (ft) имеет следующий вид:
J W=- w^ S Jp ^a <*>} ом +
(JL)
+ Sffl (/>+)3+(/>_)} dp-lg-A(K), (37.11)
где P4. = р + • Подчеркнем еще раз, что наш результат
относится только к чисто поперечной калибровке векторного потенциала. (Можно, однако, показать, что при произвольной калибровке полученные формулы остаются в силе, т. е. продольная часть выпадает из конечного результата.)
Поле А (г) и ток j(r) в сверхпроводнике меняются на расстояниях порядка глубины проникновения 8, имеющей обычно порядок .—10~5 (т. е. на расстояниях, гораздо больших атомных расстояний). Поэтому в (37.11) существенны
только компоненты У (ft) и A (ft) в области величин ft.--
Мы увидим ниже, что интегрирование в ядре (37.11) происходит в основном вблизи поверхности Ферми по узкой области значений Jp | порядка| \р\ — р0\ ~ | ft |. Далее, в (37.11) фигурируют только два вектора ft и Л (ft), причем (ftA) = 0. Выбирая вектор ft в качестве полярной оси координат для переменной интегрирования р и производя усреднения по углам в азимутальной плоскости, сразу же находим, что вектор У (ft) направлен вдоль вектора Л (ft). На основании вышеизложенного, подставляя для функций © и g их выражения (34.35), получим:
У (А) = — Q (k) A (ft),
где
тс +со
- ЗГїі Г Г +?_¦_) (*<¦> +S )4-Д2
(37.12)
РІ
(мы воспользовались тем, что -^=N). При малых k s± ^ 2 404
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
Для дальнейших вычислений надо иметь в виду, что подынтегральное выражение в правой части (37.12) при больших о) и ? ведет себя, как ш-2 при ш ? и как S-2 при Поэтому, строго говоря, интеграл по ? и сумма
по частотам со расходятся. Чтобы понять, в чем дело, рассмотрим особенности такого выражения для нормального металла (т. е. при Д = 0)
