Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
(п\х2\п) = а2{фп\Є\Фп) = Q2 (ШШ =
= a2 I п + M = —— (п + і I V 2) Tn0W \ 2J
Сравним этот результат с выражением для энергии (5.10). Тогда получим
En = m0w2 (п\х2\п).
Таким образом, связь энергии со среднеквадратичным отклонением от положения равновесия одинакова для квантового и классического осцилляторов.
4. Известно, что для классического осциллятора имеет место следу-
ющая теорема вириала: Ek = V(x). Проверим, выполняется ли теорема вириала для квантового осциллятора:
(n|V(x)|n) = \m0w2 (п\х2\п) = \m0w2—^—
z z Tn0W
и)
= Im0W (п + І) = \ЕП =1-(Jn?-n^ + HV(X)K
Отсюда сразу же следует
(n|V(x)|n) =In
2т0
Таким образом, теорема вириала выполняется как для классического, так и для квантового осциллятора. 102
Глава 5. Гармонический осциллятор
5. Проверим, выполняется ли соотношение неопределенности Гейзенберга для гармонического осциллятора. Учитывая, что средние значения координаты и импульса равны нулю (хкв = 0 и рКЕ = 0), получаем для среднеквадратичных отклонений координаты и импульса:
h
Ax2 = (ж — ж) = X2 =
TUqW
И)'
Ap2 = (р — р)2 =р2 = 2шо (^n Таким образом,
2 THQ
п ) = 2то
Mn+О
Ax2Ap2
= r2(» + 0'.
т.е.
где
AxAp = П (п + 0 , Дж = \J(х - ж)2 = у/Ax2,
Ap = yjAp2.
Таким образом, в основном состоянии (n = 0) в соотношении неопределенности реализуется равенство AxAp = h/2. Для п больших нуля и п —> оо соотношение неопределенности выполняется с запасом: AxAp h/2.
Следовательно, основное состояние и лежащие близко к нему возбужденные состояния сильно отличаются от классических. Напротив, высоковозбужденные состояния мало отличаются от классических. Это подтверждается рис. 26 - 28, на которых представлена плотность вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в интервале между классическими точками поворота для разных энергий. 5.5. Сравнение классического и квантового осцилляторов
103
Рис. 26. Основное состояние. Рис. 27. Первое возбужденное состояние.
Рис. 28. Высоковозбужденное состояние.
При любой энергии плотность вероятности обнаружить классическую частицу максимальна в точках поворота (±а), где скорость частицы равна нулю и минимальна в точке х = 0, где скорость максимальна. При |ж| > а, ркл(ж) = 0. В отличие от ркл квантовая плотность вероятности ркв(х) ф 0 при |ж| > а, и экспоненциально убывает при —> оо. Для квантовой частицы, находящейся в основном состоянии, плотность вероятности ркв максимальна в центре «осцилляторной ямы» (см. рис. 26). Для возбужденных состояний квантовой частицы ркв осциллирует, и ее максимумы постепенно смещаются к точкам поворота при возрастании энергии 104
Глава 5. Гармонический осциллятор
(но не выходят из полосы ±а). Для сильно возбужденного состояния (см. рис. 28) амплитуда осцилляций ркв становится все меньше. Нетрудно заметить, что внутри интервала (—а, +а) (за исключением окрестности границы) среднее значение Pkb стремится к ркл. Глава 6.
Однородное поле
6.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона
Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой то, движущейся в однородном поле с потенциальной энергией вида
V(x) = Fx,
где F — напряженность поля (см. рис. 29). Мы не привязываемся к конкретному виду однородного поля, оно может иметь любую физическую природу. Пусть E — полная энергия квантовой частицы, a Xo — классическая точка поворота. Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишем в виде
V(x) E
0 хо
Рис. 29. Потенциальная и полная энергии системы в однородном поле.
H2 сР
+ Fx
ф(х) = Еф(х).
2то dx2
Сначала проведем замену переменных. Положим
x = XZ,
где х — параметр, подбираемый так, чтобы коэффициенты при (P/dz2 и z были одинаковыми:
H2 2тох2
= Fx. 106
Глава 6. Однородное поле
Отсюда >? = Fi2/(2rric,F), при этом
V 2m0 J
Введя є = E/(Fn), запишем уравнение Шредингера в виде
ip(z) = 0. (6.1)
Данное линейное дифференциальное уравнение второго порядка решить прямым интегрированием достаточно сложно. Однако можно понизить порядок уравнения, воспользовавшись тем, что слагаемое, соответствующее нулевой производной, входит в уравнение в первой степени (линейно).
dz2
+ z
6.2. Решение в импульсном представлении
В координатном представлении оператором координаты является z, а оператором импульса, канонически сопряженным с оператором координаты, является р = —г d/dz. Совершим переход к импульсному представлению. Тогда оператором координаты будет Z — +i d/dp, а оператором импульса будет оператор умножения р.
Уравнение Шредингера (6.1) в импульсном представлении принимает вид
P2 +
d_ dp
<р(р) = 0,
или
dp
ip(p) = і (p2 - є) <р(р).
(6.2)
Уравнение (6.2) является уравнением первого порядка по р и может быть легко проинтегрировано. Его решением является функция
Mp) =
1 eW-чО
у/2тт
(6.3) 6.2. Решение в импульсном представлении
107
где множитель введен для нормировки. Действительно, ана-
логично (4.11) получаем:
+OO +OO
J tP*- (p)<fie(p)dp = ^J e<?'-*)»dp = 6(є' - є)
