Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 27

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 .. 32 >> Следующая


(п\х2\п) = а2{фп\Є\Фп) = Q2 (ШШ =

= a2 I п + M = —— (п + і I V 2) Tn0W \ 2J

Сравним этот результат с выражением для энергии (5.10). Тогда получим

En = m0w2 (п\х2\п).

Таким образом, связь энергии со среднеквадратичным отклонением от положения равновесия одинакова для квантового и классического осцилляторов.

4. Известно, что для классического осциллятора имеет место следу-

ющая теорема вириала: Ek = V(x). Проверим, выполняется ли теорема вириала для квантового осциллятора:

(n|V(x)|n) = \m0w2 (п\х2\п) = \m0w2—^—

z z Tn0W

и)

= Im0W (п + І) = \ЕП =1-(Jn?-n^ + HV(X)K

Отсюда сразу же следует

(n|V(x)|n) =In

2т0

Таким образом, теорема вириала выполняется как для классического, так и для квантового осциллятора. 102

Глава 5. Гармонический осциллятор

5. Проверим, выполняется ли соотношение неопределенности Гейзенберга для гармонического осциллятора. Учитывая, что средние значения координаты и импульса равны нулю (хкв = 0 и рКЕ = 0), получаем для среднеквадратичных отклонений координаты и импульса:

h

Ax2 = (ж — ж) = X2 =

TUqW

И)'

Ap2 = (р — р)2 =р2 = 2шо (^n Таким образом,

2 THQ

п ) = 2то

Mn+О

Ax2Ap2

= r2(» + 0'.

т.е.

где

AxAp = П (п + 0 , Дж = \J(х - ж)2 = у/Ax2,

Ap = yjAp2.

Таким образом, в основном состоянии (n = 0) в соотношении неопределенности реализуется равенство AxAp = h/2. Для п больших нуля и п —> оо соотношение неопределенности выполняется с запасом: AxAp h/2.

Следовательно, основное состояние и лежащие близко к нему возбужденные состояния сильно отличаются от классических. Напротив, высоковозбужденные состояния мало отличаются от классических. Это подтверждается рис. 26 - 28, на которых представлена плотность вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в интервале между классическими точками поворота для разных энергий. 5.5. Сравнение классического и квантового осцилляторов

103

Рис. 26. Основное состояние. Рис. 27. Первое возбужденное состояние.

Рис. 28. Высоковозбужденное состояние.

При любой энергии плотность вероятности обнаружить классическую частицу максимальна в точках поворота (±а), где скорость частицы равна нулю и минимальна в точке х = 0, где скорость максимальна. При |ж| > а, ркл(ж) = 0. В отличие от ркл квантовая плотность вероятности ркв(х) ф 0 при |ж| > а, и экспоненциально убывает при —> оо. Для квантовой частицы, находящейся в основном состоянии, плотность вероятности ркв максимальна в центре «осцилляторной ямы» (см. рис. 26). Для возбужденных состояний квантовой частицы ркв осциллирует, и ее максимумы постепенно смещаются к точкам поворота при возрастании энергии 104

Глава 5. Гармонический осциллятор

(но не выходят из полосы ±а). Для сильно возбужденного состояния (см. рис. 28) амплитуда осцилляций ркв становится все меньше. Нетрудно заметить, что внутри интервала (—а, +а) (за исключением окрестности границы) среднее значение Pkb стремится к ркл. Глава 6.

Однородное поле

6.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона

Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой то, движущейся в однородном поле с потенциальной энергией вида

V(x) = Fx,

где F — напряженность поля (см. рис. 29). Мы не привязываемся к конкретному виду однородного поля, оно может иметь любую физическую природу. Пусть E — полная энергия квантовой частицы, a Xo — классическая точка поворота. Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишем в виде

V(x) E

0 хо

Рис. 29. Потенциальная и полная энергии системы в однородном поле.

H2 сР

+ Fx

ф(х) = Еф(х).

2то dx2

Сначала проведем замену переменных. Положим

x = XZ,

где х — параметр, подбираемый так, чтобы коэффициенты при (P/dz2 и z были одинаковыми:

H2 2тох2

= Fx. 106

Глава 6. Однородное поле

Отсюда >? = Fi2/(2rric,F), при этом

V 2m0 J

Введя є = E/(Fn), запишем уравнение Шредингера в виде

ip(z) = 0. (6.1)

Данное линейное дифференциальное уравнение второго порядка решить прямым интегрированием достаточно сложно. Однако можно понизить порядок уравнения, воспользовавшись тем, что слагаемое, соответствующее нулевой производной, входит в уравнение в первой степени (линейно).

dz2

+ z

6.2. Решение в импульсном представлении

В координатном представлении оператором координаты является z, а оператором импульса, канонически сопряженным с оператором координаты, является р = —г d/dz. Совершим переход к импульсному представлению. Тогда оператором координаты будет Z — +i d/dp, а оператором импульса будет оператор умножения р.

Уравнение Шредингера (6.1) в импульсном представлении принимает вид

P2 +

d_ dp

<р(р) = 0,

или

dp

ip(p) = і (p2 - є) <р(р).

(6.2)

Уравнение (6.2) является уравнением первого порядка по р и может быть легко проинтегрировано. Его решением является функция

Mp) =

1 eW-чО

у/2тт

(6.3) 6.2. Решение в импульсном представлении

107

где множитель введен для нормировки. Действительно, ана-

логично (4.11) получаем:

+OO +OO

J tP*- (p)<fie(p)dp = ^J e<?'-*)»dp = 6(є' - є)
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed