Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
— оо -OO
Чтобы найти %l>(z), необходимо вернуться к координатному представлению. Выполним обратное преобразование Фурье с функцией (6.3)
+OO +OO
фе{г) = ^= I eipztp€{p)dp =^J + =
— OO -OO
+OO
= ^ J COS Qp3 + (z - e)pjdp.
O
Последний интеграл с точностью до константы представляет собой функцию Эйри
+OO
Таким образом,
m = J cos Qp3 + tpjdp. (6.4)
Ifc(Z) = 4=Ф(г - є). (6.5)
V7r
Вернемся обратно к переменной х и энергии E с помощью замены
X E _ Fx - E х Fx Fx
Кроме того, нормируем функцию Фе(х) на 5-функцию по энергии:
Ы*) = см*) = с± ?(?^),108
Глава 6. Однородное поле
+OO +OO
J ф%,(х)іІ>Е{х)0Х = \С\2Н J =
— OO —оо
= \С\2х6(є' - є) = \C\2F^8{E? - Е).
Отсюда
C= (^rs = (^)Vi
Таким образом, нормированная волновая функция частицы, движущейся в однородном поле, есть
, . . (2m0\*i 1 /Fx — Е\ .„„ч
F 6^ I-F^J (66)
Индекс Е, показывает, какому собственному значению оператора Гамильтона принадлежит данная собственная функция. Он может принимать любые значения, т.е. спектр чисто сплошной и не ограничен ни сверху, ни снизу.
6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц
Прежде всего изучим поведение волновой функции (6.6) квантовой частицы на бесконечности. Для этого рассмотрим асимптотики функции Эйри (6.4)
т =
Г 1 / 2 з\ ^rexp Ir-^J,
1 . /2, .S тг\
t —> +00,
(6.7)
-оо.
Таким образом, волновая функция частицы в однородном поле 4>е{х) при X > Xo (классически недоступная область) экспоненциально затухает, а при X < Xo (классически разрешенная область) она осциллирует со все возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Поведение функции Фе{х) показано на рис. 30.6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц 109
¦ф (ж)
E>V r\\ E<V
ж
Рис. 30. Функция Эйри.
1. Полная энергия как классической, так и квантовой частицы в однородном поле может принимать любые значения от —оо до
2. Известно, что значение скорости классической частицы в точке ж < Xq (жо — классическая точка поворота) задается выраже-
и возрастает при уменьшении ж. Поведение квантовой частицы полностью аналогично поведению классической частицы. Она также ускоряется внешним однородным полем. Ее скорость увеличивается, что следует из возрастания частоты ос-цилляций волновой функции Фе(х) при ж —> — оо (рис. 30).
3. Уменьшение амплитуды волновой функции 4>е{х) при х —> — оо (рис. 30) связано с возрастанием кинетической энергии частицы (см. (1-3)). Как следствие уменьшается относительная(!) плотность вероятности обнаружить частицу в точке х (абсолютная величина плотности вероятности имеет смысл только для финитного движения). Относительные плотности вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в точке
+00.
нием110
Глава 6. Однородное поле
показаны на рис. 31. Из этого рисунка видно, что как классическая, так и квантовая плотности вероятности уменьшаются при ж —оо.
Рис. 31. Относительные плотности вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в данной точке а;.
4. В классически недоступной области (ж > жо) плотность вероятности ркл(х) = 0, в то время, как квантовая плотность вероятности ркв(х) затухает по экспоненциальному закону с показателем пропорциональным —ж3/2 (6.7).Глава 7.
Осциллятор в однородном поле
7.1. Постановка задачи.
Решение в координатном представлении
Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой то, движущейся в поле упругой силы и однородном, например электрическом, поле. Потенциальная энергия частицы имеет вид
V(x) = ^kx1 + Fx,
где к — коэффициент жесткости, a F — напряженность поля. На рис. 32 тонкими линиями показаны
потенциальная энергия однородного поля и потенциальная энергия гармонического осциллятора, а жирная сплошная ли-Рис. 32. Потенциальная энергия гармонического ния соответствует их осциллятора в однородном поле. сумме
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Ф(ж) гармонического осциллятора в однородном поле запишем в виде
ft2 d2 1 22 ?-1
'O—TT + 0т°ш х + Fx 2т0 ахг 2
Ф(х) = ЕФ(х),
(7.1)
где, как и в разд. 5.1, вместо коэффициента жесткости к введена круговая частота w = \Jк/то . Выделим полный квадрат из второго112
Глава 7. Осциллятор в однородном поле
и третьего слагаемых в квадратных скобках:
+ ~х0)2 'i™«"2*1
Ф(і) = ЕФ[х).
Здесь хо = —F/(mow2), есть координата положения равновесия частицы в поле V(x). Произведем замену переменной
Z = X-X о,
Ф(г) = Ф(ж),
1 1 F2
E' = E + -mou>2xl = E- -Fx0 = E +
2 ~ 2 и ' 2тщш2'
Тогда уравнение Шредингера приводится к виду H2 d2 1
2Tn0 dz2 2
+ -TnobJ2Z2
Ф (г) = Е?Щг).
Полученное уравнение есть стандартное уравнение для гармонического осциллятора (без внешнего поля). Его собственные числа и собственные функции были найдены в гл. 5. Используя формулу (5.10) для E1n, получаем следующее выражение для энергии En стационарного состояния осциллятора в однородном поле:
= + (7.2)
Таким образом, спектр гармонического осциллятора во внешнем однородном поле остается чистпо дискретным и эквидистантным. Наличие однородного поля приводит лишь к сдвигу спектра как целого на величину -F2/(2т0си2). Отсюда видно, что сдвиг энергии осциллятора во внешнем поле квадратичен по напряженности поля.