Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 28

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 .. 32 >> Следующая


— оо -OO

Чтобы найти %l>(z), необходимо вернуться к координатному представлению. Выполним обратное преобразование Фурье с функцией (6.3)

+OO +OO

фе{г) = ^= I eipztp€{p)dp =^J + =

— OO -OO

+OO

= ^ J COS Qp3 + (z - e)pjdp.

O

Последний интеграл с точностью до константы представляет собой функцию Эйри

+OO

Таким образом,

m = J cos Qp3 + tpjdp. (6.4)

Ifc(Z) = 4=Ф(г - є). (6.5)

V7r

Вернемся обратно к переменной х и энергии E с помощью замены

X E _ Fx - E х Fx Fx

Кроме того, нормируем функцию Фе(х) на 5-функцию по энергии:

Ы*) = см*) = с± ?(?^), 108

Глава 6. Однородное поле

+OO +OO

J ф%,(х)іІ>Е{х)0Х = \С\2Н J =

— OO —оо

= \С\2х6(є' - є) = \C\2F^8{E? - Е).

Отсюда

C= (^rs = (^)Vi

Таким образом, нормированная волновая функция частицы, движущейся в однородном поле, есть

, . . (2m0\*i 1 /Fx — Е\ .„„ч

F 6^ I-F^J (66)

Индекс Е, показывает, какому собственному значению оператора Гамильтона принадлежит данная собственная функция. Он может принимать любые значения, т.е. спектр чисто сплошной и не ограничен ни сверху, ни снизу.

6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц

Прежде всего изучим поведение волновой функции (6.6) квантовой частицы на бесконечности. Для этого рассмотрим асимптотики функции Эйри (6.4)

т =

Г 1 / 2 з\ ^rexp Ir-^J,

1 . /2, .S тг\

t —> +00,

(6.7)

-оо.

Таким образом, волновая функция частицы в однородном поле 4>е{х) при X > Xo (классически недоступная область) экспоненциально затухает, а при X < Xo (классически разрешенная область) она осциллирует со все возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Поведение функции Фе{х) показано на рис. 30. 6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц 109

¦ф (ж)

E>V r\\ E<V

ж

Рис. 30. Функция Эйри.

1. Полная энергия как классической, так и квантовой частицы в однородном поле может принимать любые значения от —оо до

2. Известно, что значение скорости классической частицы в точке ж < Xq (жо — классическая точка поворота) задается выраже-

и возрастает при уменьшении ж. Поведение квантовой частицы полностью аналогично поведению классической частицы. Она также ускоряется внешним однородным полем. Ее скорость увеличивается, что следует из возрастания частоты ос-цилляций волновой функции Фе(х) при ж —> — оо (рис. 30).

3. Уменьшение амплитуды волновой функции 4>е{х) при х —> — оо (рис. 30) связано с возрастанием кинетической энергии частицы (см. (1-3)). Как следствие уменьшается относительная(!) плотность вероятности обнаружить частицу в точке х (абсолютная величина плотности вероятности имеет смысл только для финитного движения). Относительные плотности вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в точке

+00.

нием 110

Глава 6. Однородное поле

показаны на рис. 31. Из этого рисунка видно, что как классическая, так и квантовая плотности вероятности уменьшаются при ж —оо.

Рис. 31. Относительные плотности вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в данной точке а;.

4. В классически недоступной области (ж > жо) плотность вероятности ркл(х) = 0, в то время, как квантовая плотность вероятности ркв(х) затухает по экспоненциальному закону с показателем пропорциональным —ж3/2 (6.7). Глава 7.

Осциллятор в однородном поле

7.1. Постановка задачи.

Решение в координатном представлении

Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой то, движущейся в поле упругой силы и однородном, например электрическом, поле. Потенциальная энергия частицы имеет вид

V(x) = ^kx1 + Fx,

где к — коэффициент жесткости, a F — напряженность поля. На рис. 32 тонкими линиями показаны

потенциальная энергия однородного поля и потенциальная энергия гармонического осциллятора, а жирная сплошная ли-Рис. 32. Потенциальная энергия гармонического ния соответствует их осциллятора в однородном поле. сумме

Уравнение Шредингера для стационарных состояний Ф(ж) гармонического осциллятора в однородном поле запишем в виде

ft2 d2 1 22 ?-1

'O—TT + 0т°ш х + Fx 2т0 ахг 2

Ф(х) = ЕФ(х),

(7.1)

где, как и в разд. 5.1, вместо коэффициента жесткости к введена круговая частота w = \Jк/то . Выделим полный квадрат из второго 112

Глава 7. Осциллятор в однородном поле

и третьего слагаемых в квадратных скобках:

+ ~х0)2 'i™«"2*1

Ф(і) = ЕФ[х).

Здесь хо = —F/(mow2), есть координата положения равновесия частицы в поле V(x). Произведем замену переменной

Z = X-X о,

Ф(г) = Ф(ж),

1 1 F2

E' = E + -mou>2xl = E- -Fx0 = E +

2 ~ 2 и ' 2тщш2'

Тогда уравнение Шредингера приводится к виду H2 d2 1

2Tn0 dz2 2

+ -TnobJ2Z2

Ф (г) = Е?Щг).

Полученное уравнение есть стандартное уравнение для гармонического осциллятора (без внешнего поля). Его собственные числа и собственные функции были найдены в гл. 5. Используя формулу (5.10) для E1n, получаем следующее выражение для энергии En стационарного состояния осциллятора в однородном поле:

= + (7.2)

Таким образом, спектр гармонического осциллятора во внешнем однородном поле остается чистпо дискретным и эквидистантным. Наличие однородного поля приводит лишь к сдвигу спектра как целого на величину -F2/(2т0си2). Отсюда видно, что сдвиг энергии осциллятора во внешнем поле квадратичен по напряженности поля.
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed