Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
2т0
E > О, 4.4. Периодические прямоугольные барьеры
83
и введем коэффициенты
a = ]f
2~(Vo-E) > 0, если E<V0,
(4.15)
? = у^рЧБ - V0) > 0, если E > V0.
Рассмотрим сначала случай E < Vo- В качестве ц>\ возьмем функцию
Ip1(X) =
cos XX, 0 < X < d,
A1 sha(x — d) +B1 cha(x — d), d< х < a.
В области d < X < а можно брать любую комбинацию гиперболических синусов и косинусов. Взятая здесь комбинация упрощает вид условий сшивания. Функция </3i (х) должна быть непрерывна вместе с первой производной. Условия сшивания в точке х = d имеют вид
cos xd = B1, —xsinxd = OlA1 .
Следовательно,
Ip1 (x) =--sin Irtish a (a; — d) + cosxdcha(x — d)
a
в области d < X < a и
tpi(a) =--sin xdshab + cos xdch ab.
a
Второе линейно независимое решение ip2 (х) выберем в виде
{— sin XX, 0 < X < d,
A2 sha(x - d) +B2 cha(a; — d), d< х < a. Условия сшивания в точке х = d дают уравнения
1 •
-Sinxd= B2,
X
cos xd= a A2. 84
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Таким образом,
(х) = — cos xdsh a(x — d) + — sin xdch a(x — d) a x
в области d < X < a и
CL
(°) = cos 3t^ ch ab H--sin xd sh ab.
Вычисляя полусумму </3i (a) и ip'2(a), получаем выражение для функции S(E):
у _
S(E) = —, ° SinWSb nh + cosxdchab, E < Vr0- (4.16)
2y/E(V0 - Е)
Здесь, согласно определениям (4.15), мы воспользовались тем, что
1 /а х\ _ У0-2Е
2 \х ~ 0/ 2y/E(V0 - Ef'
Рассмотрим теперь случай E > Vo (энергия частицы больше высоты барьера). В этом случае выражение для S(E) можно получить
из (4.16), заменив a —»i?. В результате приходим к выражению
_
S(E) = — = sinxdsinBb + cosxdcos?b, E > Vn.
2yjE(E - V0)
В общем случае решать уравнение (4.14) с такой функцией S(E) можно только численно. Однако можно проанализировать характер спектра, если в рассматриваемой модели выполнить предельный переход, в результате которого потенциал будет представлять собой периодический набор (5-функций. Такой потенциал мы рассмотрим в следующем разделе.
4.5. Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака)
Для того чтобы проанализировать характер спектра частицы в периодическом поле, рассмотрим предельный случай потенциала из
4.5. Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака)
85
периодически повторяющихся прямоугольных барьеров. А именно, устремим ширину барьера к нулю, одновременно устремляя его высоту к бесконечности так, чтобы площадь под барьером оставалась постоянной:
Ь —> 0, Vo —> оо, bVo = const.
Мы можем рассматривать последовательность таких барьеров как й-образную последовательность и описывать получающийся в пределе потенциал как периодический набор й-функций Дирака. Эту модель принято называть моделью Кронига—Пенни (по фамилиям авторов, впервые ее исследовавших), или «гребенкой Дирака».
В данном предельном переходе Vo неограниченно возрастает, и потому в качестве S(E) можно взять (4.16). При малых Ь и больших Vo справедлива оценка
ob = ^(Vo -EW* ^V0V = CVb,
где С есть некоторая константа. Поэтому, делая предельный переход, можно положить
sh ab рз ab, ch ab к 1,
Vb-2E 2m0V0-2E 2m0 V0 , P sn ab = ------sh ab и - --ab = —
2y/E(V0 - E) & 2ax H2 2ax
где
xa
Imoa
m0a
~WVob
есть константа. Таким образом, получаем
sin xa
S(E) = P- + cos xa.
xa
Исследуем зависимость S(E). Введем новую переменную
[
= xa = у/Ё у :
2шоо2
W 86
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
и функцию
.. . г, sin Z J(Z) = P--1- cos z.
Тогда уравнение (4.14) запишется в виде
f(z) = cos/со.
Исследуем функцию f(z). В точках z = 0 и z = птг имеем
/(0) - P+ 1 > 0, /(птг) = (-1)".
Далее,
,., , ^cosZ „Sinz f\z) = P--P—z--sinz.
Поэтому
/'(0) = 0, /'(птг) = (-1Г—.
ПТГ
Таким образом, в точках птг (п > 0) функция f(z) принимает значения ±1, знак производной совпадает со знаком функции, а абсолютная величина производной убывает с ростом п. Это значит, что функция f(z) расположена в основном в полосе [-1,+1] параллельной оси z, причем участки функции, выходящие из этой полосы, уменьшаются с ростом z. График функции f(z) при значении параметра P = 5 приведен на рис. 23. Теперь мы можем исследовать решение уравнения f(z) = cos/со графически. Возьмем некоторое значение /с, вычислим cos ka и проведем на этой высоте линию, параллельную оси z, как показано на рис. 23. Абсциссы Zn точек пересечения этой прямой с кривой f(z) соответствуют тем значениям энергии En = (H2zn)/(2moa2), при которых уравнение f(z) = cos/со выполнено. 4.5. Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака)
87
№
cos(A;o)
-1.0
1.0
0
z
Рис. 23. Графическое решение уравнения (4.14).
Из рис. 23 следует, что для каждого значения к имеется бесконечное множество значений энергии, т. е. функция Е(к) оказывается многозначной. Более того, поскольку cos ka непрерывно изменяется в интервале [—1,+1], абсциссы точек пересечения zn целиком заполняют отрезки оси z, показанные на рис. 23 жирными линиями. Поэтому спектр энергии частицы в поле периодически расположенных й-функций имеет так называемый зонный характер. Вся ось энергии разбивается на непересекающиеся отрезки, как показано в правой части рис. 24. Каждая точка отрезка, называемого разрешенной зоной, есть точка спектра. Ни одна точка отрезка, называемого запрещенной зоной, не является точкой спектра. Разрешенные и запрещенные зоны чередуются, причем с ростом энергии ширина разрешенных зон возрастает, а ширина запрещенных зон убывает. Это связано с тем, что |/'(шг)| убывает, так что участки функции f(z), выходящие за полосу [—1,-1-1], уменьшаются с увеличением п. Более детально спектр энергии частицы характеризуется многозначной функцией Еп(к), показанной в левой части рис. 24. Величину к можно трактовать как волновой вектор, а функцию Еп(к) как закон дисперсии в п-ой зоне.
