Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 23

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 32 >> Следующая


2т0

E > О, 4.4. Периодические прямоугольные барьеры

83

и введем коэффициенты

a = ]f

2~(Vo-E) > 0, если E<V0,

(4.15)

? = у^рЧБ - V0) > 0, если E > V0.

Рассмотрим сначала случай E < Vo- В качестве ц>\ возьмем функцию

Ip1(X) =

cos XX, 0 < X < d,

A1 sha(x — d) +B1 cha(x — d), d< х < a.

В области d < X < а можно брать любую комбинацию гиперболических синусов и косинусов. Взятая здесь комбинация упрощает вид условий сшивания. Функция </3i (х) должна быть непрерывна вместе с первой производной. Условия сшивания в точке х = d имеют вид

cos xd = B1, —xsinxd = OlA1 .

Следовательно,

Ip1 (x) =--sin Irtish a (a; — d) + cosxdcha(x — d)

a

в области d < X < a и

tpi(a) =--sin xdshab + cos xdch ab.

a

Второе линейно независимое решение ip2 (х) выберем в виде

{— sin XX, 0 < X < d,

A2 sha(x - d) +B2 cha(a; — d), d< х < a. Условия сшивания в точке х = d дают уравнения

1 •

-Sinxd= B2,

X

cos xd= a A2. 84

Глава 4. Частица в периодическом потенциале

Таким образом,

(х) = — cos xdsh a(x — d) + — sin xdch a(x — d) a x

в области d < X < a и

CL

(°) = cos 3t^ ch ab H--sin xd sh ab.

Вычисляя полусумму </3i (a) и ip'2(a), получаем выражение для функции S(E):

у _

S(E) = —, ° SinWSb nh + cosxdchab, E < Vr0- (4.16)

2y/E(V0 - Е)

Здесь, согласно определениям (4.15), мы воспользовались тем, что

1 /а х\ _ У0-2Е

2 \х ~ 0/ 2y/E(V0 - Ef'

Рассмотрим теперь случай E > Vo (энергия частицы больше высоты барьера). В этом случае выражение для S(E) можно получить

из (4.16), заменив a —»i?. В результате приходим к выражению

_

S(E) = — = sinxdsinBb + cosxdcos?b, E > Vn.

2yjE(E - V0)

В общем случае решать уравнение (4.14) с такой функцией S(E) можно только численно. Однако можно проанализировать характер спектра, если в рассматриваемой модели выполнить предельный переход, в результате которого потенциал будет представлять собой периодический набор (5-функций. Такой потенциал мы рассмотрим в следующем разделе.

4.5. Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака)

Для того чтобы проанализировать характер спектра частицы в периодическом поле, рассмотрим предельный случай потенциала из

4.5. Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака)

85

периодически повторяющихся прямоугольных барьеров. А именно, устремим ширину барьера к нулю, одновременно устремляя его высоту к бесконечности так, чтобы площадь под барьером оставалась постоянной:

Ь —> 0, Vo —> оо, bVo = const.

Мы можем рассматривать последовательность таких барьеров как й-образную последовательность и описывать получающийся в пределе потенциал как периодический набор й-функций Дирака. Эту модель принято называть моделью Кронига—Пенни (по фамилиям авторов, впервые ее исследовавших), или «гребенкой Дирака».

В данном предельном переходе Vo неограниченно возрастает, и потому в качестве S(E) можно взять (4.16). При малых Ь и больших Vo справедлива оценка

ob = ^(Vo -EW* ^V0V = CVb,

где С есть некоторая константа. Поэтому, делая предельный переход, можно положить

sh ab рз ab, ch ab к 1,

Vb-2E 2m0V0-2E 2m0 V0 , P sn ab = ------sh ab и - --ab = —

2y/E(V0 - E) & 2ax H2 2ax

где

xa

Imoa

m0a

~WVob

есть константа. Таким образом, получаем

sin xa

S(E) = P- + cos xa.

xa

Исследуем зависимость S(E). Введем новую переменную

[

= xa = у/Ё у :

2шоо2

W 86

Глава 4. Частица в периодическом потенциале

и функцию

.. . г, sin Z J(Z) = P--1- cos z.

Тогда уравнение (4.14) запишется в виде

f(z) = cos/со.

Исследуем функцию f(z). В точках z = 0 и z = птг имеем

/(0) - P+ 1 > 0, /(птг) = (-1)".

Далее,

,., , ^cosZ „Sinz f\z) = P--P—z--sinz.

Поэтому

/'(0) = 0, /'(птг) = (-1Г—.

ПТГ

Таким образом, в точках птг (п > 0) функция f(z) принимает значения ±1, знак производной совпадает со знаком функции, а абсолютная величина производной убывает с ростом п. Это значит, что функция f(z) расположена в основном в полосе [-1,+1] параллельной оси z, причем участки функции, выходящие из этой полосы, уменьшаются с ростом z. График функции f(z) при значении параметра P = 5 приведен на рис. 23. Теперь мы можем исследовать решение уравнения f(z) = cos/со графически. Возьмем некоторое значение /с, вычислим cos ka и проведем на этой высоте линию, параллельную оси z, как показано на рис. 23. Абсциссы Zn точек пересечения этой прямой с кривой f(z) соответствуют тем значениям энергии En = (H2zn)/(2moa2), при которых уравнение f(z) = cos/со выполнено. 4.5. Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака)

87



cos(A;o)

-1.0

1.0

0

z

Рис. 23. Графическое решение уравнения (4.14).

Из рис. 23 следует, что для каждого значения к имеется бесконечное множество значений энергии, т. е. функция Е(к) оказывается многозначной. Более того, поскольку cos ka непрерывно изменяется в интервале [—1,+1], абсциссы точек пересечения zn целиком заполняют отрезки оси z, показанные на рис. 23 жирными линиями. Поэтому спектр энергии частицы в поле периодически расположенных й-функций имеет так называемый зонный характер. Вся ось энергии разбивается на непересекающиеся отрезки, как показано в правой части рис. 24. Каждая точка отрезка, называемого разрешенной зоной, есть точка спектра. Ни одна точка отрезка, называемого запрещенной зоной, не является точкой спектра. Разрешенные и запрещенные зоны чередуются, причем с ростом энергии ширина разрешенных зон возрастает, а ширина запрещенных зон убывает. Это связано с тем, что |/'(шг)| убывает, так что участки функции f(z), выходящие за полосу [—1,-1-1], уменьшаются с увеличением п. Более детально спектр энергии частицы характеризуется многозначной функцией Еп(к), показанной в левой части рис. 24. Величину к можно трактовать как волновой вектор, а функцию Еп(к) как закон дисперсии в п-ой зоне.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed