Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
(VnIVn') =
Тогда рассмотрим действие оператора уничтожения а на фп (?). Получим
En+i -En- tku.
a+aip = Xip,
оператора Гамильтона
афп = CnVn-I-
Отсюда
(SVnIaVn) = \Сп\2{фп-і\фп-і), 5.4. Собственные функции оператора Гамильтона
97
(;фп\а+Щп) = (Vn|A|Vn) = \СП\2, n = \СП\2.
Выберем фазы у Vn (О так, чтобы Cn было положительным, т. е.
Cn = у/а,
а-фп = у/а ipn—i. (5-11)
Исследуем действие оператора рождения а+ на Vn(C)- Для этого перепишем уравнение (5.11) в виде
aipn+1 = Vn + 1 грп.
Подействуем на обе части этого равенства оператором S+
а+аярп+х = ArVn-H = (" + l)Vn+i = Vn+ 1 а+трп.
В результате получим
S+Vn = Vn+ 1 Vn+1- (5.12)
Итак, мы определили правила действия операторов рождения и уничтожения на общие собственные функции операторов Гамильтона и числа частиц. При этом мы опять-таки не использовали явный вид операторов рождения и уничтожения. Однако, для нахождения Vn(C) нам придется задействовать определения (5.2), (5.3) этих операторов.
Подействуем оператором уничтожения а на волновую функцию Vo(C)1 принадлежащую наинизшему собственному значению n = 0. Согласно утверждению 3, приходим к уравнению
SVo (О = 0.
Подставив сюда выражение (5.2), получим следующее дифференциальное уравнение
(с + Vo(C) = о. (5.13) 98
Глава 5. Гармонический осциллятор
Это обыкновенное дифференциальное уравнение, решением которого является
фо(0 = ^е-5«2, (5.14)
что можно легко проверить непосредственной подстановкой (5.14) в (5.13). Множитель 1/^F поставлен для нормировки. Все остальные собственные функции оператора Гамильтона можно найти с помощью оператора рождения а+. Действительно,
МО = 4= а+І>п-і {О = -7=L==a+a+V„-2 (О = •••
Vn \/п(п - 1)
... = -1=(а+)'>о(а (5.15)
у/п\
Чтобы сделать это выражение более удобным, рассмотрим оператор
1 lf2 1 /[d Xlf2I , 1 12 (І \ Id
= -f — P~ 2« - I -/>+2« 4- f>+2« - I =---
rf yft\M . dt) v/2 df
Запишем выражение (5.15) в виде
1
Фп (0 = -P=S+ - Q+ •¦¦ - Q+ Vn! -*-
МО
и подставим в него единичные операторы вида
Т=е+іЄе-іЄ
перед первым оператором S+, между каждыми двумя операторами S+ и после последнего оператора S+. Тогда каждый оператор S+ окажется стоящим между ехр(—|?2) и ехр(+|?2), и каждая такая конструкция может быть заменена на (—l/y/2)(d/d?). В результате получим
, 1 dn its ,
= Ж -WW** м 5.4. Собственные функции оператора Гамильтона
99
или
фп(0 = (Д1 (5.16)
VV^n'2 "С
Таким образом, собственные функции оператора Гамильтона для гармонического осциллятора можно записать в следующем виде:
MV = -7^М0НП(0, (517)
Vn! 2"
где функция фо(0 определена формулой (5.14), а функции
Я. (О = (-1)»е+€2^е-«2 (5.18)
называются полиномами Эрмита. Они образуют полную ортонорми-рованную систему. Нетрудно проверить, что система собственных функций (5.16) или (5.17) оператора Гамильтона также ортонорми-рована и полна.
Полученные функции 1рп(0 есть функции переменной и они нормированы на единицу при интегрировании по Волновые функции Фп(ж) гармонического осциллятора, зависящие от переменной х и нормированные на единицу при интегрировании по х, имеют вид
Ф„(х) = -J=Vn (-)¦ (5.19)
у/a Va/
Получим некоторые полезные формулы. Прежде всего определим действие операторов ? и d/d? на построенные собственные функции оператора Гамильтона (5.17). Подставим в (5.11) и в (5.12) формулы-определения (5.2), (5.3) операторов рождения и уничтожения
Из этих уравнений получим важные для приложений результаты: CVn = yi"Vn-1 + Y^y^ Vn+i, (5.20)
^Vn = yi"Vn-I - У^Цр Vn+1. (5.21) 100
Глава 5. Гармонический осциллятор
5.5. Сравнение классического и квантового гармонических осцилляторов
1. Полная энергия классического осциллятора может принимать
любые положительные значения, начиная с E = 0. При E = 0 частица покоится в начале координат. У квантового осциллятора полная энергия может принимать значения из бесконечного, дискретного, эквидистантного набора. Наинизший уровень энергии Eo = \tvuj > 0 соответствует энергии нулевых колебаний.
2. Известно, что средние значения координаты и импульса для
классического осциллятора равны нулю: хКП = 0, ркл = 0. Вычислим средние значения координаты и импульса для квантового осциллятора:
х^ = (n\x\n) = а(фп\(\фп),
Pkb = { П
ах
— ( Vn а \
Vn
где |п) и Iфп) отличаются тем, что первая функция зависит от x, а вторая от Однако обе они принадлежат полным ор-тонормированным наборам (n\m) = 6пт и (фп\ф т) — finm, гдє интегрирование ведется по своим переменным.
Используя (5.20) и (5.21), получаем
= (Фп\Фп-і) + qY (Фп\Фп+і) = 0,
—ih
Pkb =
^ (фп\фп-і) - \J-Y- (Vn|Vn+l) ) = 0.
Таким образом, средние значения координаты и импульса квантового гармонического осциллятора равны нулю, как и для классического. 5.5. Сравнение классического и квантового осцилляторов
101
3. Напомним, что для классического осциллятора полная энергия
связана со среднеквадратичным отклонением из положения равновесия простым соотношением Екл = Tn0W2X211. Проверим, остается ли в силе это соотношение для квантового осциллятора. Используя снова (5.20) и (5.21), получаем
