Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 26

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 .. 32 >> Следующая


(VnIVn') =

Тогда рассмотрим действие оператора уничтожения а на фп (?). Получим

En+i -En- tku.

a+aip = Xip,

оператора Гамильтона

афп = CnVn-I-

Отсюда

(SVnIaVn) = \Сп\2{фп-і\фп-і), 5.4. Собственные функции оператора Гамильтона

97

(;фп\а+Щп) = (Vn|A|Vn) = \СП\2, n = \СП\2.

Выберем фазы у Vn (О так, чтобы Cn было положительным, т. е.

Cn = у/а,

а-фп = у/а ipn—i. (5-11)

Исследуем действие оператора рождения а+ на Vn(C)- Для этого перепишем уравнение (5.11) в виде

aipn+1 = Vn + 1 грп.

Подействуем на обе части этого равенства оператором S+

а+аярп+х = ArVn-H = (" + l)Vn+i = Vn+ 1 а+трп.

В результате получим

S+Vn = Vn+ 1 Vn+1- (5.12)

Итак, мы определили правила действия операторов рождения и уничтожения на общие собственные функции операторов Гамильтона и числа частиц. При этом мы опять-таки не использовали явный вид операторов рождения и уничтожения. Однако, для нахождения Vn(C) нам придется задействовать определения (5.2), (5.3) этих операторов.

Подействуем оператором уничтожения а на волновую функцию Vo(C)1 принадлежащую наинизшему собственному значению n = 0. Согласно утверждению 3, приходим к уравнению

SVo (О = 0.

Подставив сюда выражение (5.2), получим следующее дифференциальное уравнение

(с + Vo(C) = о. (5.13) 98

Глава 5. Гармонический осциллятор

Это обыкновенное дифференциальное уравнение, решением которого является

фо(0 = ^е-5«2, (5.14)

что можно легко проверить непосредственной подстановкой (5.14) в (5.13). Множитель 1/^F поставлен для нормировки. Все остальные собственные функции оператора Гамильтона можно найти с помощью оператора рождения а+. Действительно,

МО = 4= а+І>п-і {О = -7=L==a+a+V„-2 (О = •••

Vn \/п(п - 1)

... = -1=(а+)'>о(а (5.15)

у/п\

Чтобы сделать это выражение более удобным, рассмотрим оператор

1 lf2 1 /[d Xlf2I , 1 12 (І \ Id

= -f — P~ 2« - I -/>+2« 4- f>+2« - I =---

rf yft\M . dt) v/2 df

Запишем выражение (5.15) в виде

1

Фп (0 = -P=S+ - Q+ •¦¦ - Q+ Vn! -*-

МО

и подставим в него единичные операторы вида

Т=е+іЄе-іЄ

перед первым оператором S+, между каждыми двумя операторами S+ и после последнего оператора S+. Тогда каждый оператор S+ окажется стоящим между ехр(—|?2) и ехр(+|?2), и каждая такая конструкция может быть заменена на (—l/y/2)(d/d?). В результате получим

, 1 dn its ,

= Ж -WW** м 5.4. Собственные функции оператора Гамильтона

99

или

фп(0 = (Д1 (5.16)

VV^n'2 "С

Таким образом, собственные функции оператора Гамильтона для гармонического осциллятора можно записать в следующем виде:

MV = -7^М0НП(0, (517)

Vn! 2"

где функция фо(0 определена формулой (5.14), а функции

Я. (О = (-1)»е+€2^е-«2 (5.18)

называются полиномами Эрмита. Они образуют полную ортонорми-рованную систему. Нетрудно проверить, что система собственных функций (5.16) или (5.17) оператора Гамильтона также ортонорми-рована и полна.

Полученные функции 1рп(0 есть функции переменной и они нормированы на единицу при интегрировании по Волновые функции Фп(ж) гармонического осциллятора, зависящие от переменной х и нормированные на единицу при интегрировании по х, имеют вид

Ф„(х) = -J=Vn (-)¦ (5.19)

у/a Va/

Получим некоторые полезные формулы. Прежде всего определим действие операторов ? и d/d? на построенные собственные функции оператора Гамильтона (5.17). Подставим в (5.11) и в (5.12) формулы-определения (5.2), (5.3) операторов рождения и уничтожения

Из этих уравнений получим важные для приложений результаты: CVn = yi"Vn-1 + Y^y^ Vn+i, (5.20)

^Vn = yi"Vn-I - У^Цр Vn+1. (5.21) 100

Глава 5. Гармонический осциллятор

5.5. Сравнение классического и квантового гармонических осцилляторов

1. Полная энергия классического осциллятора может принимать

любые положительные значения, начиная с E = 0. При E = 0 частица покоится в начале координат. У квантового осциллятора полная энергия может принимать значения из бесконечного, дискретного, эквидистантного набора. Наинизший уровень энергии Eo = \tvuj > 0 соответствует энергии нулевых колебаний.

2. Известно, что средние значения координаты и импульса для

классического осциллятора равны нулю: хКП = 0, ркл = 0. Вычислим средние значения координаты и импульса для квантового осциллятора:

х^ = (n\x\n) = а(фп\(\фп),

Pkb = { П

ах

— ( Vn а \

Vn

где |п) и Iфп) отличаются тем, что первая функция зависит от x, а вторая от Однако обе они принадлежат полным ор-тонормированным наборам (n\m) = 6пт и (фп\ф т) — finm, гдє интегрирование ведется по своим переменным.

Используя (5.20) и (5.21), получаем

= (Фп\Фп-і) + qY (Фп\Фп+і) = 0,

—ih

Pkb =

^ (фп\фп-і) - \J-Y- (Vn|Vn+l) ) = 0.

Таким образом, средние значения координаты и импульса квантового гармонического осциллятора равны нулю, как и для классического. 5.5. Сравнение классического и квантового осцилляторов

101

3. Напомним, что для классического осциллятора полная энергия

связана со среднеквадратичным отклонением из положения равновесия простым соотношением Екл = Tn0W2X211. Проверим, остается ли в силе это соотношение для квантового осциллятора. Используя снова (5.20) и (5.21), получаем
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed