Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 30

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 .. 32 >> Следующая


т.е. для волновой функции гармонического осциллятора в однородном поле получаем формулу (7.3).

7.3. Некоторые свойства гармонического осциллятора в однородном поле

1. В разд. 5.5 было показано, что средние значения операторов координаты и импульса в стационарном состоянии частицы в упругом поле (без однородного поля) равны нулю. Проверим, остается ли справедливым этот результат при наличии внешнего однородного поля. Используя (7.3), получаем

Ii=O

U(b)f(x) = f(x-x0).

Фп(х) = Ф„(а; - х0),

хкв = (Ф„(а;)|2;|Фп(2;)) = (Vn(f)K + ^olVn(O) = хо, 7.3. Свойства осциллятора в однородном поле

117

/ d
—ih— dx

Фп(ж) > =

—ih a

I d
(ыо Щ

ЫО) = 0.

Таким образом, наличие внешнего однородного поля не изменяет среднего значения импульса осциллятора, но приводит к смещению среднего значения его координаты в точку X0 = -F/(mow).

2. До сих пор мы нигде не оговаривали природу однородного поля. В данном пункте под однородным полем будем понимать именно электрическое поле: F = q?, где q — заряд частицы, а E — напряженность электрического поля. Наличие у заряженного гармонического осциллятора в однородном электрическом поле ненулевого среднего значения координаты соответствует появлению дипольного момента

D

qx к

Q2E

Tn0W2

(7.7)

который равнялся нулю при отсутствии поля. Знание дипольного момента (7.7) позволяет нам рассмотреть линейный отклик системы на воздействие внешнего электрического поля, характеризуемый электрической восприимчивостью

D ?

T

т0ш

2 '

(7.8)

которая, как следует из формулы (7.8), всегда положительна вне зависимости от знака заряда q. Важно отметить, что с ростом частоты осциллятора ш (или энергии En) его восприимчивость к внешнему полю квадратично стремиться к нулю. Этот факт легко объясняется тем, что большие энергии (или частоты) соответствуют большому коэффициенту жесткости к квазиупругой силы, поэтому полю все труднее деформировать осциллятор.

3. Вычислим средние значения кинетической и потенциальной энергии. Для среднего значения кинетической энергии имеем

Т?" Ps

Ek =

2т0

h2 2т0



(x)

dx2



>- 118

Глава 7. Осциллятор в однородном поле

-K2 2mo

(ад Щ ад) = ^ (мо Щ mo) =

H2

H2

2moa2 \ d?



-MO =

2moa2

x (^n-1" V^T^"+1 Ivf^i-1" \Мгфп+1) =

Здесь мы воспользовались формулой (5.21). Найдем среднее потенциальной энергии гармонического осциллятора в однородном поле. Получаем

1

V(x) = ^m0W2X2 + Fx.

Среднее значение 2;КЕ уже было вычислено. Найдем : X2Tb = <Фп(х)|х2|Фп(х)) = (Фп(г)|(г+х0)2|Ф„(г)) =

= (Фп(г)|г2|Фп(г)) + 2ж0(Ф„(г)|г|Ф„(г)) + х2(Ф„(г)|Ф„(г)) =

= а2{МО\е\МО) + 4ІМ01М0) = а2 (п + 0 + X20.

Здесь мы использовали результат п.З разд. 5.5. Следовательно, V(x) = ^m0W2Q2 (n + ^ + ^m0W2X20 + Fx0 =

= ibw (" + i) + lfxo¦

Таким образом, среднее значение кинетической энергии осциллятора в поле остается таким же, как и в случае отсутствия поля, а среднее значение потенциальной энергии получает добавку Fxо/2, которая и определяет изменение полной энергии гармонического осциллятора при наложении однородного поля. Список иллюстраций

Рис.1 Потенциальная яма..................................30

Рис.2 Классическая плотность вероятности....................32

Рис.3 Прямоугольная потенциальная яма. ...............33

Рис.4 Графическое решение уравнения (2.4)..................36

Рис.5 Графическое решение уравнения (2.7)..................38

Рис.6 Классическая плотность вероятности....................39

Рис.7 Квантовая плотность вероятности. Первое четное состояние........................................................39

Рис.8 Квантовая плотность вероятности. Первое нечетное

состояние....................................................39

Рис.9 Квантовая плотность вероятности. Яма малой ширины. 39 Рис.10 Прямоугольная потенциальная яма. Начало отсчета

энергии сдвинуто на дно ямы..............................40

Рис.11 Квадрат амплитуды волновой функции внутри потенциальной ямы............................................48

Рис.12 Уровни энергии и их четность в прямоугольной потенциальной яме конечной и бесконечной глубины. . . 50

Рис.13 Первый четный резонанс................................51

Рис.14 Второй нечетный резонанс..............................51

Рис.15 Волновые функции для энергии E', лежащей между

первым четным и вторым нечетным резонансами. . . 52

Рис.16 Волновая функция частицы в tf-образной яме. ... 54

Рис.17 Прямоугольный потенциальный барьер................61

Рис.18 Четное и нечетное решения для малой энергии

(Е = 0.2 Vo)..................................................64

Рис.19 Вещественная, мнимая части волновой функции и

ее модуль для малой энергии (E = 0.2 Vo)................67

Рис.20 Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль для энергии вблизи вершины барьера

(Е = 0.9 Vo)..................................................68 120

Список иллюстраций

Рис.21 Зависимость коэффициентов прохождения T и отражения R от энергии частиц, налетающих на потенциальный барьер........................ 69
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed