Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Энергетический спектр частицы в любом локальном, одномерном, периодическом потенциале качественно похож на полученный спектр энергии в потенциале из периодически расположенных 88
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
й-функций. Он имеет зонную структуру, т.е. состоит из чередующихся разрешенных и запрещенных зон.
разрешенная зона, п =6
запрещенная зона
разрешенная зона, п =5
запрещенная зона
разрешенная зона, п =4
запрещенная зона разрешенная зона, п =3
запрещенная зона
разрешенная зона, п =2
запрещенная зона разрешенная зона, n =1
a a
Рис. 24. Спектр энергии частицы в одномерном периодическом потенциале.
Конечно, вид функций En(k) будет разным и ширины зон будут разными. Однако ни в каком локальном одномерном периодическом потенциале разрешенные зоны не могут пересекаться. Разрешенные зоны, как правило, разделены запрещенными зонами, и запрещенные зоны существуют при сколь угодно больших энерги- 6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц
89
ях. Это верно и в тех случаях, когда потенциал ограничен сверху. С ростом энергии ширина запрещенных зон уменьшается. В исключительных случаях ширина некоторых запрещенных зон может оказаться равной нулю, и тогда разрешенные зоны будут касаться друг друга. Надо отметить, что правило непересечения зон справедливо только для одномерного случая. В трехмерном случае, например, при рассмотрении движения электронов в реальном кристалле, разрешенные зоны могут пересекаться и, как правило, пересекаются при высоких (и не очень высоких) энергиях. Пересечение зон имеет место и в двумерном случае, например, при рассмотрении движения электронов вдоль поверхности кристаллов.
4.6. Сравнение движения квантовой и классической частиц
Рассмотрим движение частиц в периодическом локальном потенциале произвольного вида. Поместим начало отсчета энергии в минимум потенциала. Пусть наименьшее значение потенциала есть lmin, a Vmax — наибольшее значение. Классическая частица может иметь любую энергию больше Vlnin. Если эта энергия меньше Kriax, то частица движется в пределах одного периода, именно того, в котором она находилась в начальный момент времени. Если энергия больше Vmax, то движение частицы инфинитно, с течением времени она уйдет на бесконечность. При этом движении скорость частицы изменяется периодически, от максимума, когда она проходит над минимумом потенциала, до минимума, когда она проходит над максимумом потенциала.
В отличие от классической квантовая частица может иметь энергию лишь из разрешенной энергетической зоны. При этом даже выше Vmax (если Vtlax конечно) существуют запрещенные для квантовой частицы энергетические зоны. В то же время при любом разрешенном значении энергии движение квантовой частицы инфинитно, т. е. квантовая частица может уйти на бесконечность даже если ее энергия меньше Vmax. 90 Глава 4. Частица в периодическом потенциале Глава 5.
Гармонический осциллятор
5.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона
Рассмотрим стационарные состояния квантовой частицы с массой то, движущейся в упругом поле с потенциальной энергией вида
V(x) = -кх2,
где к — коэффициент жесткости. На рис. 25 показаны полная энергия E частицы и классические точки поворота ±ао, где ао — классическая Рис. 25. Потенциальная энергия гармо- амплитуда колебаний, нического осциллятора.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишем в виде
H2
V(x)
\ E /
У':
-ао
О
Oo
d2 1 2 2 2т0 dx2 2
Ф(ж) =
Здесь введена круговая частота вместо коэффициента жесткости к = Tn0lj2.
Сначала выполним масштабное преобразование, чтобы избавиться от размерных множителей Ii2,ш и то в первом и во втором слагаемых в квадратных скобках. Положим
X = а?,
где а — параметр, подлежащий определению. Запишем оператор Гамильтона в новых переменных 92
Глава 5. Гармонический осциллятор
Подберем а так, чтобы коэффициенты при d2/d?2 и ?2 были одинаковыми:
K2 1
і 2 2/-2
--= -Tn0W a ? .
2mo OL 2
Отсюда а = у/Н/(тп0 и). При этом
fi2 1 1 11 1 2 2г2 1 t
= — тп0 и) а ? = - пш.
2 m0 а2 2 * 2
Таким образом, оператор Гамильтона принимает вид
^ = ^bJ+^2) • (5л)
Задачу на собственные значения Н(?)ф(?) = Егр(?) с оператором (5.1) можно решать как обычное дифференциальное уравнение. Однако мы поступим по-другому, для того чтобы ввести понятия, играющие очень важную роль в современной квантовой теории, а именно, операторы рождения и уничтожения.
5.2. Операторы рождения и уничтожения. Оператор числа частиц
Введем оператор
Это неэрмитовский оператор. Действительно, в силу антиэрмито-вости оператора d/d? оператор а+, эрмитово сопряженный с оператором а, не совпадает с последним:
8^M)-
Вычислим коммутатор операторов Sna+: 5.3. Спектр оператора Гамильтона
93
Таким образом, коммутатор равен
[а,а+] = aa+ — a+a = 1. (5.4)
Кроме того, из выражения для a+a получаем
Н{0 = hu (a+a + 0 , (5.5)
т. е. оператор Гамильтона H является линейной функцией от другого оператора:
