Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
4.2. Нормировка блоховских функций
Елоховские функции не интегрируемы с квадратом модуля, т.е. для них интеграл
¦ф(к, х) = егкхи(к,х), где и(к,х) есть периодическая функция
и(к,х + а) = и(к,х).
Е(—к) = Е(к).
OO
-OO 4.2. Нормировка блоховских функций
79
расходится, и если мы все-таки хотим использовать скалярное произведение блоховских функций, то его необходимо доопределить. Оставим для скалярного произведения прежнее обозначение в виде интеграла, но под интегралом по бесконечному интервалу будем понимать следующий предел:
оо Na
/tp*(k1,x)ip(k2,x)dx = lim I V(k1,x)^(k2,x)dx. (4.9)
JV-юо J
-оо —Na
При обычном определении несобственного интеграла верхний и нижний пределы стремятся к оо и к —оо независимо. Используемое здесь доопределение состоит в том, что пределы стремятся к бесконечности симметрично и интегралы берутся по целому числу периодов. Мы рассматриваем блоховские функции, и потому
Na JY1 a
[ ip*{kux)il){k2,x)dx = J2 e*k2~kl)na f V (k1,x)^(k2,x)dx.
-Na n=~N O
Стоящий в правой части интеграл по периоду не зависит от индекса суммирования п, и его можно вынести из под знака суммы (и из под знака предела). В результате получаем сумму геометрической прогрессии
W-1 g-iaJV _ IaN
Sn= ? = , a = (k2 - k,)a
n=-N
со знаменателем e,Q. Таким образом, мы приходим к следующему пределу:
2іжа sin aN Ь = lim Sn = - lim -
JV-^oo Єш — 1 JV-юо 7Г а
и получаем известную й-образную последовательность. Таким образом,
5 = -^L 6(a) ^ 2ж6(а) = —6(к2 - к,). 80
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Здесь была раскрыта неопределенность при a -ї 0 во множителе, стоящем перед (5-функцией. В результате для скалярного произведения блоховских функций получаем
оо а
J i])*(ki,x)ip(k2ix)dx = 6(k2 — ki) — J^*(kx,x)^(k2,x)dx.
-OO О
Следовательно, если каждую блоховскую функцию домножить на свой постоянный множитель так, чтобы для всех функций имело место равенство
a
J \ф(k, х)\2 dx = 1, (4.10)
о
то скалярное произведение блоховских функций будет иметь вид
OO
J Il)m(kuz)il>{k2,z)dx = A(A2-fci), (4.11)
-OO
где под интегралом понимается (4.9). Таким образом, блоховские функции будут нормированы на й-функцию (4.11). Условие (4.10) содержит интеграл по конечному промежутку и может быть удовлетворено без труда.
4.3. Спектр оператора Гамильтона
Получим теперь спектр энергии частицы в периодическом поле. Возьмем некоторое произвольное значение энергии E и найдем решение уравнения
Н{х)ф{к,х) = Eip(k,x), удовлетворяющее теореме Блоха
ip(k,x + a) = егкаір(к, х). Решать эту задачу будем следующим образом. Рассмотрим уравне-
ние
Г H2 d2
2то dx2
+ V(x) - E
ip(x) = О (4.12) 4.3. Спектр оператора Гамильтона
81
на периоде [0, а] и наложим граничные условия ф(к,а) = е1ка-ф(к, 0),
(4.13)
гр'(к,а) = егкаір'(к,0).
Выберем нормальную фундаментальную систему (1.5) линейно независимых решений Ip1 и ip2 уравнения (4.12):
Vi(O) = 1, Vb(O) = 0, Vi(O) = 0, Vti(O) = 1.
Вронскиан этих решений (он в данном случае постоянен в силу теоремы Грина см. п. 8 разд. 1.1) равен
Vi(x)v'2(x) - ViHv2(X) = Vi(O)V2(O) - Vi(O)V2(O) = 1.
Представим общее решение уравнения (4.12) в виде
¦ф(х) = A vi (х) + Bv2(x)
и определим коэффициенты А и В так, чтобы выполнялись граничные условия (4.13)
Avi (a) + Bv2(O)= eikaA, Av'i (a) + Bv2 (а) = егкаВ.
Мы получили систему двух линейных однородных уравнений относительно двух переменных А и В. Для того чтобы существовало нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю:
(v>x(o) - elka) (v'2(a) - elka) - v'i(аШа) = 0.
Раскрывая скобки и учитывая, что определитель Вронского равен единице:
Vi (a) V2 (а) - vi(a)V2(a) = 1.
получаем
1 - (VJ1(O) + V2(a)) + el2ka = 0. 82
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Обозначим
S(E) = - (<Pi(a) + V2 (°))
(S(E) зависит от энергии Е, так как Vi (°) и ^2(0) суть решения уравнения (4.12) при данном Е), и запишем уравнение в виде
S(E) = cos ka.
(4.14)
Это уравнение позволяет при данном к найти соответствующее значение Е. т.е. определить закон дисперсии E(к).
Для дальнейшего исследования движения частицы в периодическом поле необходимо рассмотреть потенциал конкретного вида.
У(х)
4.4. Периодически повторяющиеся
прямоугольные потенциальные барьеры
Возьмем простейший потенциал, для которого несложно вычислить функцию S(E). Построим его из периодически повторяющихся
(до бесконечности) прямоугольных барьеров высотой Vo и шириной Ь, как это показано на рис. 22. Расстояние между барьерами равно d, таким образом период потенциала равен a = b + d. Данный одномерный потенциал, ¦*¦ X помимо трансляционной, обладает еще и
V0
О
d Ъ
Рис. 22. Периодический потенциал из прямо- инверсионной симмет-угольных барьеров. рией. Однако этот тип
симметрии нас сейчас не интересует. Поэтому, поместим начало координат в точку не содержащую центра инверсии. Найдем для такого потенциала функции Vi и V2- Обозначим
