Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Используя формулу (5.19) для 4>n(z), мы получаем следующее выражение для волновой функции Ф„(х) гармонического осциллятора в однородном поле (a = ^h/(m0uj)):
фп(х)=Ф„(*)=^ (J) = -T=Ar=^ (J)я" (-) - (7-з)
у/а Va/ vn!2na ^o/ Va/
где ipo(z/a) определена формулой (5.14), а Hn(z/a) есть полином Эрмита (5.18). Функции Фп(ж) нормированы на единицу при интегрировании по х. 7.2. Решение с операторами рождения и уничтожения
113
7.2. Решение с помощью операторов рождения и уничтожения
Как видно из предыдущего раздела, задача об одномерном гармоническом осцилляторе в однородном поле легко решается в координатном представлении. Однако при этом используется в явном виде оператор Гамильтона в координатном представлении. В то же время похожие, но гораздо более сложные задачи возникают в разных разделах физики, например, при рассмотрении взаимодействия электрона с электромагнитным полем, при учете электрон-фононного взаимодействия, при описании эффекта гигантского комбинационного рассеяния и других. Эти задачи обычно решаются с помощью операторов рождения и уничтожения. Достоинство такого подхода состоит в том, что в нем достаточно использовать только коммутационные соотношения между операторами. Покажем, как задачу об одномерном гармоническом осцилляторе в однородном поле (7.1) можно решить с помощью операторов рождения и уничтожения.
Для упрощения последующих вычислений целесообразно вместо напряженности поля F ввести пропорциональный полю параметр b:
Ъ - — — ~ Нш у/2
Перейдем к безразмерной переменной ? = х/а, где a = y/h/(mou>), и запишем оператор Гамильтона гармонического осциллятора в однородном поле в виде
Н(Ь) = + Є) + ПшЪу/2(,
где оператор H зависит от Ъ как от параметра. Воспользуемся результатами разд. 5.2 и введем операторы рождения а+ (5.3) и уничтожения а (5.2). Преобразуем с их помощью оператор Гамильтона
Н(Ь) = Н{ 0) + Hiub(a + a+),
где H(O) есть оператор Гамильтона гармонического осциллятора без поля в представлении операторов рождения и уничтожения:
ЩО) = huj ґа+а + | 114
Глава 7. Осциллятор в однородном поле
(см. формулу (5.5)). Покажем, что существует такой унитарный оператор U(b), который связывает оператор Н(Ь) осциллятора в поле с оператором H(O) осциллятора без поля простым соотношением
Н(Ь) = U(b)H(0)U+(b) + Ныс(Ь), (7.4)
где c(b) есть некоторая числовая функция Ь. Для этого подставим в (7.4) операторы Н(Ь) и H(O) в явном виде, сократим справа и слева энергию нулевых колебаний (Hlj/2), поделим это равенство на Hlj и перепишем полученное равенство в виде
U(b)a+aU+(b) = a+a + b(a + a+) - c(b). (7.5)
Возьмем в качестве унитарного оператора U(Ь) оператор
LГ(Ь) = ebA,
где А есть оператор вида
А = b(a - а+),
который является антиэрмитовским (А = —А+). Преобразуем левую часть (7.5) с помощью операторного тождества Бейкера— Хаусдорфа:
OO
eABe~A = Yj а». D0 = в, Dn = - [ддг_і] .
71=0
В рассматриваемом случае В = a+a. Поэтому
D0 = a+a.
Вычисляя следующий член разложения Di, находим
D1 = [X-Do] = Ь [а - а+,а+а] = b(a + а+),
так как 7.2. Решение с операторами рождения и уничтожения
115
[O+JO+O] = O+O+O — O+OO+ = -S+ [S1O+] = -O+
Далее,
D2 = ~ [ЛД] = \b2 [о - о+,о + о+] = Ъ2.
Поскольку D2 есть константа, то D3 и все последующие Dn, п > 3, обращаются в нуль. Таким образом,
eAa+ae~A = о+о + b{a + а+) + Ъ2,
а это и есть уравнение (7.5), в котором c(b) = —Ь2.
Первое слагаемое в правой части (7.4) представляет собой преобразование подобия с унитарным оператором, а второе слагаемое есть сдвиг начала отсчета энергии. Как известно, преобразование подобия не изменяет спектра оператора. Поэтому спектр оператора Гамильтона осциллятора в поле есть спектр оператора Гамильтона осциллятора без поля, сдвинутый на величину
—Hub2 = -^-Hlj2Xq = ^Fx0 =
2 и 2 и 2 mow2'
т.е. вниз. Таким образом, для энергии гармонического осциллятора в однородном поле получаем формулу (7.2). В то же время, сдвиг спектра как целого не меняет собственных функций оператора. Собственные функции Ф„(х) исходного оператора и собственные функции Ф„(х) подобно преобразованного оператора связаны между собой унитарным преобразованием
Ф„(аО = U(b) Фп(х). (7.6)
Рассмотрим это преобразование более подробно. Поскольку
о - о+ = у/2 = ay/2-J-, at, ах
то унитарный оператор определяется выражением
U(b) = exp (b(a — а+)) = exp ^aby/2^ = ехр ¦ 116
Глава 7. Осциллятор в однородном поле
Покажем, что это есть оператор сдвига на — Xo- Действительно, разложим полученный оператор в ряд
и подействуем этим оператором на произвольную функцию f(x) (непрерывную вместе со всеми производными). Получим
а это есть разложение функции f(x—xо) в ряд Тейлора относительно точки X. Следовательно,
Таким образом, оператор U(Ь) аналогичен введенному в разд. 4.1 оператору трансляции, с тем отличием, что Ta есть оператор сдвига на период а, а оператор U(b) есть оператор сдвига на —Xo¦ Поскольку U(b) есть оператор сдвига, формула (7.6) может быть записана в виде
