Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
N = a+a. (5.6)
Поэтому, найдя собственные числа и собственные функции более простого оператора N, мы автоматически получим собственные функции, а после линейного преобразования и собственные числа оператора Н.
5.3. Спектр оператора Гамильтона
Рассмотрим задачу на собственные значения и собственные функции оператора N (5.6):
NifiO = МО- (5.7)
Для этого исследуем в деталях свойства оператора N. Сформулируем ряд утверждений.
1. Собственные числа А оператора N не отрицательны.
Действительно, считая, что ip нормированы на единицу, получаем:
А = (v\N\v) = (<pfi+a\<p) = (/I/) > О,
где / = аїр. В данной формуле знак равенства может иметь место, только если / = 0. Таким образом, спектр оператора N, а следовательно, и оператора H ограничен снизу. Это непосредственно следует из того, что оператор потенциальной энергии V(x) ограничен снизу нулем. 94
Глава 5. Гармонический осциллятор
2. Пусть ip — собственная функция оператора N с собственным
числом А. Покажем, что / = аїр либо нуль, либо собственная функция оператора N с собственным числом А — 1.
Действительно, используя коммутационные соотношения (5.4), получаем
Nf = a+aaip = (Sa+ — l)aip = а'а+аїр — аїр =
= aNip — аїр = аХір — аїр = (А — 1) /.
Таким образом, если A-I > 0, то / — собственная функция оператора N, а А — 1 — его собственное число, если же A-I <0, то/ = 0в соответствии с утверждением 1.
3. Обозначим наименьшее собственное число оператора N через
Ao, а соответствующую собственную функцию через ір0¦ Покажем, что Ao = 0.
Действительно, так как A0 — наименьшее собственное число, то в силу утверждения 2 Ao — 1 < 0 и
aipo = /о = 0.
Собственное число A0 одновременно является и средним значением оператора N в состоянии ip0. Поэтому,
A0 = {<ро\а+а\<ро) = (aip0\aipo) = (/о|/о) = 0.
4. Все собственные числа оператора N — целые числа.
Действительно пусть А — некоторое собственное число оператора N, лежащее в интервале [тп,т + 1), a ip\ — соответствующая собственная функция. Действуя последовательно m раз оператором а на ip\, получаем последовательность собственных чисел: А — 1, А — 2, ..., А — т, где m Є N. Последнее в этой последовательности собственное значение А — тп лежит в интервале [0,1), а соответствующая собственная функция есть ip\-tn. Следующее действие оператора а на ip\-m даст нам (А — тп — 1) < 0, чего не может быть согласно утверждению 1. Отсюда следует, что aipx-m = 0. Но вместе с тем, (А — 771) есть среднее значение оператора N в состоянии ip\-m:
(A-m) = (ул-т|2+а|у>л-т) = (aipX-m\aipx-m) = 0. 5.3. Спектр оператора Гамильтона
95
Следовательно, при каком-то значении тп мы неминуемо попадаем точку нуль, и это есть наименьшее собственное число, и оно целое. А так как тп Є N, то и А тоже должно быть целым. Таким образом, мы делаем вывод, что
5. Пусть ip — собственная функция оператора N с собственным числом А. Покажем, что функция f = а+<р — также является собственной функцией оператора N с собственным числом
Действительно, используя коммутационные соотношения (5.4) получаем
Отметим, что спектр не ограничен сверху, что следует из неограниченности операторов кинетической и потенциальной энергии V (х) на бесконечности.
Операторы а+, а и N широко используются в различных приложениях квантовой механики и получили названия операторов рождения, уничтожения и числа частиц соответственно. Термин частица означает не реальную физическую частицу, а просто квант энергии Нш.
Часто говорят, что оператор уничтожения а, переводит систему из состояния с п «частицами» в состояние с п — 1 «частицей», а оператор рождения а+ — из состояния с п «частицами» в состояние с п + 1 «частицей». В то же время квантовомеханическое среднее оператора N дает число частиц (квантов) в рассматриваемом состоянии.
Таким образом, задача (5.5) сводится к следующей задаче:
А = п, п = 0,1,2,..
А + 1.
Nf = a+aa+ip = а+ (а+а + 1) (р
= a+Nip + a+ip = (А + 1) a+ip = (А + 1) /.
NMO = Пф „(?).
(5.8)
Следовательно,
Нфп(0 = Епфп(0,
(5.9) 96
Глава 5. Гармонический осциллятор
где
En = hu)
(5.10)
Это следует из формулы (5.5). задающей линеиное преобразование оператора N (5.6) к оператору Н.
Таким образом, мы нашли спектр гармонического осциллятора (5.10). Это эквидистантный спектр. Расстояние между уровнями постоянно и равно
Отметим, что мы нашли спектр, не используя конкретный вид операторов а+, и а, а учитывая лишь их соотношения коммутации. Поэтому если какую-нибудь квантовомеханическую задачу можно свести к задаче вида
где аа+ — а+а = 1, а конкретное содержание операторов любое, то собственные числа А будут целыми. Например, движение свободного электрона в однородном магнитном поле описывается уравнением подобного вида, решение которого соответствует уровням Ландау.
5.4. Собственные функции
Продолжим решение задач (5.8), (5.9). Нам осталось определить конкретный вид собственных функций Vn (О и их свойства. Будем считать, что все они нормированы на единицу и ортогональны:
