Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
76 ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Применяя правила сложения и умножения вероятностей, имеем:
P(H1) = 0,4-0,5-0,3 + 0,6-0,5.0,3 + 0,6-0,5-0,7 _ 0,36. Аналогично,
P (H2) = 0,6 - 0,5 - 0,7 + 0,4 - 0,5 - 0,7 + 0,4 • 0,5.0,3 - 0,41; р (H3) = 0,4-0,5-0,7 «0,14.
Условные вероятности события А при этих гипотезах равны
P (Л I F1)-0,2; P (41 JET1)-0,6; P (А | TZ3) — 1,0, По формуле (2.5.2):
P(A) _ 0,36.0,2 + 0,41-0,6 + 0,14-1,0 = 0,458. *
2.6. Теорема гипотез (формула Бейеса)
Следствием правила умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Бейеса.
Представим себе следующую ситуацию. До опыта о его условиях можно было сделать ряд гипотез Ни /78, ... НП} несовместных и образующих полную группу:
Вероятности гипотез до опыта (так называемые «априорные вероятности») заданы и равны:
P (H1), P (H,), .... P (Hn); ? P (Ні) - 1.
Теперь предположим, что опыт произведен, и в его результате появилось событие А. Спрашивается, как нужно пересмотреть вероятпости гипотез с учетом этого факта? Другими словами, найти «апостериорные» вероятности гипотез при условии, что опыт дал результат А:
P(H1]A); Р(И2\А); ...; P(//fI|i4).
Решим эту задачу, пользуясь правилом умножения и формулой полной вероятности.
2.6. ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ (ФОРМУЛА БЕЙЕСА) 77
Возьмем любую гипотезу Hi и вычислим вероятность произведения НА по правилу умножения в двух формах:
p (H1a) » p (H1) P (a I H1) - p (a) P (Ні I А).
Теперь отбросим левую часть:
p (Hi)-P(a I Hi) - p (Л) p (Я* I Л) (2.6.1)
и разделим обе части равенства (2.6.1) на p(a) (предполагается, что она не равна нулю); получим
p (Hi |Л) = [Р (H1) P (a I Hi)]IP (А). (2.6.2)
Наконец, заменим P(a) его выражением по формуле полной вероятности:
p (Hi |л) = [р (НО P (a I jst1)j/ [ і p (Hi) P (А I я,)]
(/-1,2, ...,п). (2.6.3)
Формула (2.6.3) называется формулой Бейеса. Она позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что опыт дал результат Л.
Пример 1. Имеется 3 урны; в первой 3 белых шара и 1 черный; во второй — 2 белых шара и 3 черных; в третьей — 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и выпимает из нее 1 шар. Этот шар оказался белым. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности того, что шар вынут из 1-й, 2-й, 3-й урны.
Решение. Гипотезы:
Hi *= {выбрана первая урна), H2 — {выбрана вторая урна), Я, = {выбрапа третья урна).
Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности гипотез равны:
р(Я1) = р(Я8) = р(Я8) = 1/3.
В результате опыта появилось событие
Л = (из выбранной урпы вынут белый шар}.
Условные вероятности события Л при гипотезах #lf H H *
' p {A J H1) - 3/4; p (Л [ Я,) - 2/5; p (А | H3) - 1.
78
ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Применяя формулу Бейеса (2.6.3), находим апостериорные вероятности гипотез:
P(U \А)__(УЗ) (3/4)__|5_.
г \а і J л) (1/3) (3/4) + (1/3) (2/5) + (1/3) л - 43 ,
Р(Н2\А)-±; Р(Н3\А) = §/)
Таким образом, в свете информации о появлении события А вероятности гипотез изменились: самой вероятной стала гипотеза Яв, наименее вероятной — гипотеза #2. >
Пример 2. В партии изделий смешаны изделия трех заводов: N1 изделий первого, Nt изделий второго и изделий третьего завода. Известно, что вероятность дефекта для изделий 1-го, 2-го, 3-го завода равна соответственно Pu Piy Ps- Если изделие дефектно, то оно не проходит испытания. Взято наугад одно изделие из смешанной партии; оно не прошло испытания. Найти вероятности того, что оно изготовлено 1-м, 2-м, 3-м заводом.
Решение. Л «(изделие не прошло испытания). Гипотезы:
Hi — (изделие изготовлено 1-м заводом); Hг = (Ъзделие изготовлено 2-м заводом); H3 = (изделие изготовлено 3-м заводом).
Априорные вероятности гипотез:
p (Hi) - N1Z(N1 + N, + N3) (і = 1, 2, 3). Условные вероятности события А: P(A]H1)^p1, Р(А[Н2) = р2; Р(А[Н3) = р3.
По формуле Бейеса апостериорные вероятности гипотез:
JV j-лг J-JV Pi P(H1[A)--J3- 3-*--
Nl + N2 + N3 + Nt + N2 + N3 + Nl+N2 + N3
*) Заметим, что так как гипотезы несовместны и образуют полную группу, p (Я3 J А) можно было бы не вычислять, а найти
по формуле
P(H3[A) = I-P(II1[A)-P^1A).
2.6. ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ (ФОРМУЛА БЕЙЕСА)
79
Пример 3. До опыта об его условиях можно было сделать четыре гипотезы: Я,, Я2, Я3, ЯА с вероятностями, равными, соответственно,
p (H1) = 0,2; p (Я,)-O1i; p (Я.)-0,5; p (Я,)-0,2.
В результате опыта появилось событие Л, которое невозможно при гипотезах Н%9 H2 и достоверно при гипотезах Я8, Я4. Найти апостериорные вероятности гипотез.
Решение.
P(A\HJ-P(A[Hj-O; P(A\HJ-P(A\HJ-U
По формуле Бейеса:
P(H1IA)-P(HJA)-Oi
p (Я81 А) — 0,5/(0,5 + 0,2) = 5/7;
p (Я41 А) = 2/7. >
Пример 4. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: Hi9 H2j H39 Я4. Согласно статистике р(Я1)-0,2; р(Я2)-«==0,4; р(Яз)=0,3;р(Я4)=0,1. Осмотр места катастрофы выявляет, что в ее ходе произошло событие Л — {воспламенение горючего). Условные вероятности события А при гипотезах Ни H29 Я8, Я4, согласно той же статистике, равны: p (А \ H1) - 0,9; p (А \ H2) - 0; p (А \ H3) - 0,2; р(Л|Я4)=0,3. Найти апостериорные вероятности гипотез.
