Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Решение. По формуле Бейеса имеем:
г l«! I а; — 0,2.0,9 + 0,4-0 + 0,3.0,2 + 0,1.0,3 3» р(Я2|Л)«0; р(Я8|Л)-2/9; р(Я4|Л)-1/9. >
Пример 5. Объект, за которым ведется наблюдение, может быть в одном из двух состояний:
H1 — {функционирует} и H2 в {не функционирует).
Априорные вероятности этих состояний p (HJ — 0,7, р(#2)~0,3.
Имеется два источника информации, которые приносят разноречивые сведения о состоянии объекта; первый источник сообщает, что объект не функционирует, второй — что функционирует. Первый источник вообще дает правильные сведения с вероятностью 0,9, а с вероятностью 0,1 — ошибочные. Второй источник менее надежен: он дает правильные сведения с вероятностью 0,7,
80
ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
а с вероятностью 0,3 — ошибочные. На основе анализа донесений найти новые (апостериорные) вероятности гипотез.
Решение. Наблюдено событие А == (первый источник сообщил #2, второй HJ.
Условные вероятности этого события при гипотезах H1 и H2 равны:
P (A I H1) = P (первый источник дал неверные сведения, второй — верные) « 0,1 • 0,7 a 0,07; P (A I H2) = P (первый источник дал верные сведения,
второй — неверные) — 0,9 • 0,3 = 0,27.
По формуле Бейеса
P (H11 А) - 0в7.0 + 0^3-0,27 " 0,37?1 Р(#2|Л) = 1-P(Jy1IiI) «0,623.
Итак, в результате апализа стала значительно более вероятной вторая гипотеза: объект не функционирует. >
Пример 6. Испытывается прибор, состоящий из двух узлов: 1 и 2. Надежности (вероятности безотказной работы за время т) узлов 1 и 2 известны и равны Pi «=» 0,8; pi 0,9. Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени т выяснилось, что прибор неисправен. Найти с учетом этого вероятности гипотез:
Hi « (неисправен только первый узел); H2 =* (неисправен только второй узел); Нг — (неисправны оба узла).
Решение. До опыта возможны были не три, а четыре гипотезы, включая ZZ0 = (исправны оба узла). Опыт показал, что имеет место одна из гипотез Ни H2, Hiy причем наблюденное событие А есть сумма этих гипотез:
A=Hi + H2 + Hs.
Априорные вероятности гипотез:
P(ZZ1) = 0,2-0,9 «0,18;
P(ZZ2) «0,8-0,1 = 0,08; P(H3) = 0,2-0,1 «0,02. Условные вероятности
Р(А\Н1) + Р(А\Н2) + Р(А\Н3) = 1.
2.6. ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ (ФОРМУЛА БЕЙЕСА) 81
*) Исход {обе пробоины совпали} отбрасываем, как ничтожно маловероятный.
По форх\іуле Бейеса находим апостериорные вероятности:
P(yi i ^)-OHS+ 0°« +0,02 ^
P (H31 А) »0,071. >
Пример 7. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго — 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку *).
Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:
Hi =* (ни первый, ни второй стрелки не попадут),
H2 = {оба стрелка попадут),
H9 в {Первый стрелок попадет, а второй — нет),
Hi«{первый стрелок не попадет, а второй попадет).
Априорные вероятности гипотез: P(H1) - 0,2-0,6 - 0,12; P(H2) - 0,8-0,4 - 0,32; P (H3) - 0,8.0,6 - 0,48; P (HJ - 0,2.0,4 - 0,08.
Условные вероятности наблюденного события А — = {в мишени одна пробоина) при этих гипотезах равны:
P(A1[HJ = O; P(A[H2) = 0;
P(A[HJ-U P(A[HJ = U
После опыта гипотезы Я4 и H2 становятся невозможными, а апостериорные вероятности гипотез Я4 и Я4 по формуле Бейеса будут:
P(H \А) 0^48'1 6-
г 1 л; — 0,48-1 + 0,08-1 7 '
р(Я4) = 1-р(Я3|А)= 1-6/7= 1/7. »>
ГЛАВА З
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
3.1. Понятие случайной величины. Закон распределения*
Ряд распределения дискретной случайной величины
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной величины образуют множество S, которое мы будем называть множеством возможных значений случайной величины.
Примеры случайных величин.
1) Опыт — бросание игральной кости; случайная величина X — число выпавших очков. Множество возмоя*-ных значений: E-(I, 2, 3, 4, 5, 6).
2) Опыт — бросание трех монет; случайная величина R — частота появления герба; множество возможных
значений S — jo, -|-f -|", 1 j.
3) Опыт — работа ЭВМ после очередного ремонта; случайная величина T — время наработки ЭВМ до первого отказа (сбоя). Множество возможных значений S — теоретически вся правая половина оси абсцисс Ol, включая 0: U > 0}; практически этот участок ограничен справа, но граница расплывчата, неопределенна. Множество возможных значений S в данном случае несчетно.
4) Опыт — дважды измеряется емкость конденсатора с помощью точных электронных приборов. Случайная величина Z — разность между результатами первого и второго измерений. Множество возможных значений S (опять-таки теоретически)—все точки на оси Oz9 как z 0, так и z > 0.
5) Опыт — ведется тестирование изделий до появления первого исправного изделия. Случайная величина
