Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
3.1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
83
Y — число тестов, которое будет произведено. Множество возможных значений S = (I, 2, ..., /г, ...) — бесконечно, но счетно.
6) Опыт — измерение сопротивления линии (с помощью прибора с грубыми делениями); результат округляется до ближайшего целого значения. Случайная величина X — ошибка от округления. Множество воз-мояшых значений S — участок числовой оси от —1 до +1, включая концы, т. е. S = {[— 1, +1]); оно несчетно.
Условимся в дальнейшем, как правило, случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения — маленькими. Например: случайная величина X1 ее возможные значения х. Вместо слов «случайная величина» часто будем пользоваться сокращением с. в.
Уже из приведенных примеров видно, что случайные величины бывают двух типов: у одних множество значений S копечно или счетно (их можно перенумеровать в каком-то порядке; примеры 1), 2) и 5)); у других это множество сплошь занимает какой-то участок числовой оси, границы которого могут быть как зафиксированными (пример 6)), так и неопределенными (примеры 3), 4)), а множество возможных значений несчетно. Условимся случайные величны первого типа называть дискретными, а второго — недискретными (в дальнейшем недискретные случайные величины мы тоже разделим на два типа).
В принятой нами теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина X есть функция элементарного события: Х = ф(со), где о) — элементарпое событие, принадлежащее пространству Q (й) є Q). При этом множество S возможных значений с. в. X состоит из всех значений, которые принимает функция ф(о). Если множество S конечно или счетно, с. в. X называется дискретной, если несчетно — недискретной.
Задумаемся немного над тем, существуют ли в реальности недискретные случайные величины. Ведь измеряя какое-то значение с в., полученное в результате опыта, мы всегда выражаем его в каких-то единицах (сантиметрах, тоннах, вольтах); учитывая это обстоятельство, можно было бы стать на такую точку зрения, что в реальности мы имеем дело только с дискретпыми случайными величинами, значения которых разделены расстоянием, равным единице измерения. Но, во-первых, эта
84
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
единица не всегда уточнена (имеется потенциальная возможность повысить точность измерения). Кроме того, в случаях, когда возможные значения с. в. очень многочисленны и расположены очень тесно на числовой оси, проще рассматривать ее как недискретпую, а множество возможных значений — как сплошь занимающее какой-то участок числовой оси.
Введем новое, очень важное понятие теории вероятностей — закон распределения. Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то вначение или попадет на какой-то интервал). Если св. X имеет данный закон распределения, то про нее говорят, что она «распределена» по этому закону (или же «подчинена» этому закону распределения).
Наиболее простую форму можно придать закону распределения дискретной случайной величины. Для этого достаточно перечислить возможпые зпачения с. в. X: xlf X29 •.., Xn9 ... и соответствующие им вероятности.
Рядом распределения дискретной с. в. X называется таблица, в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможпые значения с. в. X: хи х2у ... ..., Xn1 . •а в нижней — вероятности этих значений: Pu Pu . • •t Pn, ..где pi = P {л = Xi} — вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение Xt (*-1, 2.....п, ...).
Ряд распределения с. в. X мы будем записывать в виде таблицы:
Х2
(3.1.1)
P2 i Pn
Так как события {1X-Z1), (X = Z2), ... несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке ряда (3.1.1), равна единице:
S pi-l. (3.1.2)
і
Эта единица как-то распределена между значениями св. (отсюда и термин «распределение»).
Пример 1. Рассматривается работа трех независимо работающих технических устройств (ТУ); вероятность нормальной работы первого ТУ равна 0,2, второго — 0,4,
8.1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
85
третьего — 0,5; с. в. X —число работающих ТУ. Построить ряд распределения с. в. X.
Решение. Возможные значения с. в. X: 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности найдем, пользуясь правилами сложения и умножения. Для краткости будем обозначать нормальную работу знаком «+», а отказ — знаком «—».
P1 = P(X = O) = Pf---} = 0,8.0,6-0,5 = 24.
P2 = P(X = I)-Pf+--} + Р{- + -} + Р{--+ } =
- 0,2-0,6.0,5 + 0,8-0,4-0,5 + 0,8-0,6.0,5 -
«0,06 + 0,16 + 0,24-0,46. рзвр{Х = 2} = Р{- + +} + Р{+-+} + Р{++_}«
- 0,8-0,4-0,5 + 0,2-0,6-0,5 + 0,2-0,4-0,5 =
= 0,16 + 0,06 + 0,04-0,26. р4 = Р{Х~3}~Р{+ + + ) = 0,2-0,4-0,5 = 0,04.
4
Как и следовало ожидать, 2 Pie 1- (Кстати, этим
свойством можно было воспользоваться и не вычислять одну из вероятностей piy а просто дополнить сумму остальных до единицы.)
