Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
чения которой за- О а?
ключены между О и Рис# з2.3
1: О<F(x)< 1, причем
F(—оо) = 0, F(+оо)=1. В отдельных точках эта функция может иметь скачки (разрывы первого рода), на некоторых участках она может быть постоянной, на других — монотонно возрастать (см., например, рис. 3.2.3).
В дальнейшем вместо слов «функция распределения» будем иногда писать сокращенно ф. р.
Если в задаче фигурирует не одна случайная величина, а несколько (например X1 Y1 Z)1 нужно по-разному обозначать их функции распределения, например, Fx(z), Fv(y), Pz{z) или же F1(X)1 F2(V)1 F,(z). Совершенно все равно, какой буквой
_%«<г„шшмм»#\ обозначать аргумент функции
Q ос ? X распределения; мы его обозначи-
ли малой буквой X1 соответствую-Рис. 3.2.4 щей большой букве X, обознача-
ющей случайную величину, но это вовсе необязательно; например, можно обозначить ее q и определить функцию распределения случайной величины Z как
Fz(q) = P{Z<q}.
Зная функцию распределения F(x) случайной величины X, можно вычислять вероятности любых событий, с нею связанных.
Выражение вероятности попадания на участок через ф. р. Рассмотрим на оси абсцисс участок от а до ? (рис. 3.2.4). Для определенности левый
90
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
конец участка будем включать в него, а правый — нет. Пусть известна функция распределения F(x) случайной величины X. Найдем вероятность того, что с. в. X в результате опыта примет значение, лежащее на участке от а до ? (включая его левый конец). Полагая в формуле (3.2.Г) а=*Яі, ? = x2l получим:
F(?)»F(a) + P{a<X<?}.
Откуда
P {а < X < ?} = F (?) - F (а), (3.2.2)
т. е. вероятность того, что с. в. X в результате опыта попадет на участок от а до ? (включая а) равна приращению функции распределения на атом участке.
В других обозначениях формулу (3.2.2) можно записать в виде:
P(Xe= [а, ?)> - F(?)-F(CZ)1
где квадратная скобка обозначает, что дапный конец включается в участок, а круглая — что не включается.
Формула (3.2.2) справедлива для любых случайных величин — как дискретных, так и недискретных.
Выражение для вероятности отдельного значения с. в. через ф. р. Возьмем любую точку а на оси абсцисс и примыкающий к ней участок [а, ?). Имеем:
P{a<X<?} = F(?)-F(a).
Будем неограниченно приближать точку ? к точке а (см. рис, 3.2.4). В пределе получим:
P {X = a) = lim [F (?) - F (а)]. (3.2.3)
Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция F(x) в точке а или терпит разрыв. Если функция F(х) в данной точке а непрерывна, то5 предел (3.2.3) равен нулю. Если же функция F(x) в точке а совершает скачок, то предел (3.2.3) равен величине этого скачка. В любом случае вероятность события {X — а) равна величине скачка ф. р. случайной величины X в точке а (равен этот скачок нулю или нет).
3.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
91
В частности, если функция F(x) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения с. в. X равна нулю.
С первого взгляда этот вывод может показаться парадоксальным. Мы до сих пор встречались с событиями, вероятности которых равнялись нулю, но то были невозможные события. Событие {X = а) для с. в. X с непрерывной функцией распределения F(x) возможно, но его вероятность равна нулю. Более того, в результате опыта непременно произойдет одно из таких событий, т. е. случайная величина X примет одно из своих возможных значений; а вероятность каждого из них равна пулю! Как же быть с правилом сложепия вероятностей? Ведь сколько нулей ни складывай, ничего отличного от нуля не получится!
Рассеем это недоумение (если оно возникло). Вспомним, что аксиому сложения мы ввели только для конечного и для счетного бесконечного множества событий; для песчетного она попросту несправедлива. Вероятность попадания св. на участок от а до ? равна сумме вероятностей попадания на элементарные участки, образующие его, как бы малы эти участки ни были, но не равна сумме вероятностей попадания в отдельные точки (каждая из этих вероятностей может быть и равна нулю).
Представление о событии, имеющем отличную от нуля вероятность, но складывающемся йз событий с нулевой вероятностью, не более парадоксально, чем представление о фигуре, имеющей определенную площадь, тогда как ни одна точка внутри фигуры отличной от нуля площадью не обладает. Фигура состоит из таких точек, но ее площадь не равна сумме их площадей. Сколь угодно малый элемент, выделенный из фигуры, имеет площадь; она приближается к нулю при уменьшении размеров элемента и в пределе равна нулю для точки.
Если событие А в данном опыте возможно, но имеет нулевую вероятность, то противоположное ему событие А не достоверно, но вероятность его равна единице (например, событие {XФа) для с. в. X, функция распределения которой в точке а непрерывна).
Из того, что событие {X = а) имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т. е. частота его равна нулю. Мы знаем,
92
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
что частота события при большом числе опытов пе равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события (X = а} равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта оно будет появляться сколь угодно редко.
