Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Ряд распределения с. в. X имеет вид:
I 0 I
1 I 2
3
I 0,24 I
0,46 I 0,26
0,04
Пример 2. Производятся независимые тестирования больших интегральных схем (ВИС) до тех пор, пока не будет обнаружена первая исправная БИС, после чего тестирование прекращается. Вероятность того, что тестирование произвольной БИС закончится успешно, равна р. Построить ряд распределения св. У — число тестов, которое придется произвести.
Решение, св. У дискретна и имеет бесконечное (счетное) множество возможных зпачений: (1, 2, ... Ї, ...). Найдем их вероятности, начиная с рх:
Условимся внаком «+» обозначать успешное тестирование, знаком «—» — неуспешное.
Для того чтобы достаточно было произвести одно тестирование, нужно, чтобы первый же тест закончился
86
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
успешно:
Pi-P { + } = р {^=1} = P-
Найдем р2 = р{У« 2). Чтобы тестирование прекратилось после второго теста, нужно, чтобы первый тест был неуспешным, второй — успешным:
P,-P{-+}-P{Y-2)-(l-p)p,
или, обозначая вероятность неуспешного тестирования 1 - P - д.
Pz - qp-
Аналогично найдем
Рі = Р{--...- + } = p(F = O = ^-1P-
(і-І)раз
Ряд распределения с. в. Y имеет вид:
Y :
1
2
...
P
¦ • •
• • •
(3.1.3)
Убедимся, что Pi = 1. Действительно, 2^"1P="
і-=1 і=1
oo
•""7"2^1* и' суммируя бесконечную геометрическую
q i=l
прогрессию с первым членом q и знаменателем q < 1, имеем
oo
Графическое изображепие ряда распределения называется многоугольником распределения. Строится он так: для каждого возможного значения с. в. восстанавливается перпендикуляр к оси абсцисс, на котором откладывается вероятность данного зпачения с. в. Полученные точки для наглядности (и только для паглядности!) соединяются отрезками прямых (рис 3.1.1).
Для с. в. X, рассмотренной в примере I1 многоугольник распределения показан на рис. 3.1.2.
Для с. в. У, рассмотренной в примере 2, при р — 0,6, q = 0,4 ряд распределения имеет вид:
3.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
87
Первые несколько ординат многоугольника распределения показаны на рис. 3.1.3 (продолжение памечено пунктиром).
Кроме геометрической интерпретации распределения дискретной с. в., часто оказывается полезной и ее
Рис. 3.1.1 Рис. 3.1.2
механическая интерпретация. Это — ряд материальных точек на оси абсцисс, имеющих абсциссы хи Хг, ..., xh ... и, соответственно, массы ри р2, . . Pu •..»
X
D 1 2 З Ц- 5 X1 X1 D X2 Xit
Рис. 3.1.3 Рис. 3.1.4
в сумме образующие единицу (рис. 3.1.4). В дальнейшем мы убедимся в полезности такой механической интерпретации.
3.2. Функция распределения случайной величины. Ее свойства
Ряд распределения (и, соответственно, многоугольник распределения) могут быть построены только для дискретной случайной величины (для недискретной они не могут быть построены хотя бы потому, что множество возможных значений такой случайной величины несчетно, и их нельзя перечислить в верх-
83
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ней строке таблицы). Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных), является функция распределения.
Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х:
F(x) = P{X<x}. (3.2.1)
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки х (на рис. 3.2.1 соответствующая часть оси абсцисс, т. е. множество точек, представляющее событие [X<х), отмечена штриховкой).
х<ф а в
j
-^-\ -А-sr~A-.
D х 0 х* \хп
-V-
с
Рис. 3.2.1 Рис. 3.2.2
Из геометрической интерпретации очень наглядно (хотя и не вполне строго) можно вывести основные свойства функции распределения:
1) F (х)— неубывающая функция своего аргумента,
Т. Є. При X2>Xi F(x2)>F(Xi).
2) F(-oo)=0.
3) F(+00)-1.
Действительно, рассмотрим на оси абсцисс две точки Xi и X2J причем х2>Xi (рис. 3.2.2).
Представим событие С = {X < х2) как сумму двух несовместных событий: С — A + B1 где А = {X < ^1), В =
(#i X < X2).
По правилу сложения
P(C) = P (A) + p (B)1 т. е. Р{Х<х2} = Р{Х<хх} + P{x1^iX<x2}1 или
F(X2) - F(X1) + p {X1 < X <X2}. (3.2.Г)
Но p {^1 ^ X < х2}, как и всякая вероятность, не может быть отрицательной; следовательно, F(x2)>F(X1).
Для обоснования второго свойства будем отодвигать точку X на рис. 3.2.1 все левее и левее (до —°°). Оче-
3.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
89
видно, в пределе событие {X < X)1 состоящее в том, что случайная точка X попадет левее х, становится невозможным, а его вероятность — равной нулю, и
/Г(-оо)=0.
Аналогично, перемещая точку х по оси абсцисс направо до +оо, убедимся, что F(+оо)= 1 (событие {Х<х) в пределе становится до-
стоверным).
Итак, функция распределения F(x) любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, зна-
