Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 32

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 137 >> Следующая


В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величии, введем понятие плотности распределения или плотности вероятности.

Подойдем к нему, исходя из механической интерпретации распределения вероятностей. Для дискретной с. в. X эта интерпретация сводится к тому, что в точках X1,

*) Из «непрерывности» необязательно следует «дифференцируемое™» (можно построить искусствепвые примеры функций непрерывных, но не дифференцируемых; по мы в эти тонкости вдаваться не будем).

96

ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

#2, ..х{, ... сосредоточены массы pt, р2, ..р<, ..., причем сумма всех масс равна 1.

Обобщим эту интерпретацию на случай непрерывной с. в. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно «размазапа» по оси абсцисс Ox (рис. 3.4.3) с какой-то, в общем слу-^ .,чае, неравномерной плотностью. — 1Q <&/fffffif?^ ? Вероятность попадания с. в. X на

любой участок Ax будет интер-Рис. 3.4.3 претироваться как масса, прихо-

дящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке — как отношение массы к длине; на участке [х, х + Ах) средняя плотность будет равна:

Р{х^Х<х + Ах)/Ах.

Вероятность попадания с. в. X па участок х + Ax) равна приращению функции распределения на этом участке; поэтому средняя плотность на участке от х до х + Ax будет равна

F(x+ Ax)-F (х) Ax

Переходя к пределу при Ax -+ О, получим плотность в точке х:

,. F (х + Ax) — F (х) г?// \ /о / л\

hm ^ '-— = F (х), (3.4.1)

а это — не что иное, как производная функции распределения (вот для чего нам понадобилось, чтобы функция F(x) была дифференцируема!).

Таким образом, мы ввели в рассмотрение новое и очень важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.

Плотностью распределения (или плотностью вероят-ности, иногда просто плотностью) непрерывной случайной величины X в точке X называется производпая ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее j(x\:

1(x)-F'(x)-^F(x). (3.4.2)

Про случайную величину X будем говорить, что она имеет распределение с плотностью f(x) или, проще, распределена с плотностью f(x) на таком-то участке оси абсцисс.

3.4. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

97

Далее (см. п. 11.3) мы дадихМ понятие о том, из каких соображений может быть найдена (прямо или косвенно) плотпость распределения (п.р.).

Если в задаче фигурирует не одна случайная величина, а несколько (X, F, Z), то их плотпость распределения будем различать соответственными индексами у буквы /: /,(х), f2(y), U(z) или Jx(X)9 fv(y), jt(z). Так же как и аргумент функции распределения, аргумепт плотности может быть обозначен любой буквой; f(x) и /(*/) — одна и та же функция, только с по-разному обозначенным аргументом.

Плотпость распределения /(я), как и функция распределения F(z), является одной из форм закона распределения; в отличив от функции распределения, эта форма не универсальна: она существует только для непрерывных св.

График плотпости распределения f(x) называется кривой распределения (рис 3.4.4).

Введем новое важное понятие: элемент вероятности. Рассмотрим непрерывную с в. X с плотностью f(x) и элементарный участок dx, примыкающий к точке X (рис 3.4.4). Вероятность попадания св. X на этот


f(x)


)
'шж,


0
х\х. X 0
06 ? X

Рис 3.4.4 Рис. 3.4.5

участок dx (с точностью до бесконечно малых высших порядков) равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности для точки х. Геометрически элемент вероятности приближенно равен площади элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx, примыкающий к точке х (заштрихована на рис 3.4.4).

Выразим вероятпость попадания с. в. X на участок от а до ? (рис 3.4.5). (Оговорку «включая а» отбросим, так как для непрерывной с. в. событие {X = а} имеет нулевую вероятность.) Очевидно, вероятность попадания с. в. X на участок (а, ?) равна сумме элементов

4 Теория вероятностей и ее инженерные приложения

98 ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

^ — ства плотности распреде-

ления }(х):

Рис. 3.4.6 1 Плотность распреде-

ления — неотрицательная функция:

f(x)>0. (3.4.5)

Это свойство вытекает из определения f(x); производная пеубывающей функции отрицательной быть не может.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен едипице:

oo

j" 1(z) dz »i. (3.4.6)

»—оо

Это свойство следует из формулы (3.4.4J9 если положить В НЄЙ Х*=<*> И уЧеСТЬ, ЧТО /''(+oo)«8 1.

Геометрически основные свойства (3.4.5) и (3.4.6) плотности ](х) интерпретируются как:

1) вся кривая распределепия лежит не ниже оси абсцисс;

2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице,

вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу: P{a<X<?} = J f (х) dz. (3.4.3)

а

В геометрической интерпретации эта вероятность равна площади, ограниченной сверху кривой распределения и опирающойся на участок (а, ?) (заштрихована на рис. 3.4.5).

Формула (3.4.3) сразу же дает возможность выразить функцию распределения F(x) через плотность распределения f(x). Действительно,
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed