Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
т = n/h; о = Т/п/Х.
Для нормального закона функция распределения равна:
F(t)-0,5 + Ф((т-го)/<т)=» 0,5 + Ф((т-пА)/(У7Д)),
где Ф(#) — функция Лапласа. Поэтому
P (Г > т} = 1 — F (т) = 0,5 — Ф ((Ят - n)l Vn). >
Пример 2. Станок с числовым программным управлением выдает за смену лг = 1000 изделий, из которых в среднем 2% дефектных. Найти приближенно вероятность того, что за смену будет изготовлено не менее 970 доброкачественных (недефектных) изделий, если изделия оказываются доброкачественными независимо друг от друга.
Решение. Вероятность р изготовления доброкачественного изделия: р = 0,98, Y — число доброкачественных изделий; число независимых опытов п = 1000. Проверяем, выполнены ли условия (10.2.17); находим
M [Y] =пр= 980; Oy = O[Y] = Inpq « 4,43; пр - За, » 980 - 13,3 > 0; пр + Зоу < 1000.
Следовательно, пользоваться нормальным законом можно; применяя теорему Лацласа в форме (10.2.22),
10.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
423
находим:
P [Y > 970} = P {970 < Y < оо}«0,5~ф(^^^)« 0,988.
Итак, искомая вероятность достаточно велика (равна 0,988), но все же с вероятностью 0,012 можно ожидать, что число доброкачественных изделий за смену будет меньше, чем 970. >
Пример 3. Для условий предыдущего примера определить, на сколько доброкачественных изделий •y должен быть рассчитан заготовленный для них бупкер, такой, чтобы вероятность его переполнения за смену не превысила 0,01.
Решение. Найдем 1Y из условия
P{y<V}«P{r<Y} = 1-0,01 = 0,99.
Ищем такое значение у = "і, при котором функция распределения случайной величины Yn
F(у) = 0,5 + Ф ((у - щ)/в9) = 0,99,
то есть Ф( (y- 980)/4,43) = 0,99- 0,5 = 0,49.
По таблиц функции Лапласа (см. приложение 2) находим аргумент, при котором функция Лапласа равна 0,49; он приближенно равен 2,33; отсюда
1^^^2,33; у « 980 + 10,-32 « 990. >
Пример 4. Железнодорожный состав состоит из п вагонов; вес каждого вагона в тоннах — случайная величина X с м. о. TYtx и с. к. о. ох. Число вагонов п — большое (несколько десятков). Локомотив может везти вес не больше q (тонн); если вес состава больше q (тонн), приходится прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что одного локомотива не хватит для перевозки состава.
п
Решение. Обозначим Q = 2 вес состава. На
i=l
основании центральной предельной теоремы при достаточно больпіОхМ п с. в. Q распределена приближенно по нормальному закону с параметрами mq = птх\ O4 =
mm YW4 — У паї — VnOx.
424 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
Искомая вероятность равна единице минус функция распределения случайной величины Q:
p {Q> q} = 1 - [0,5 + Ф ((g - тхп)/{ Vn Ox)]. >
(10.2.25)
Пример 5. Решить предыдущую задачу, но если состав содержит п{ вагонов, п2 платформ и щ цистерн; вес X1 вагона имеет математическое ожидание и дисперсию O1; вес платформы X2 —¦ характеристики m2, O2, вес цистерны X3 — характеристики m3, D3. Величины пи Du тг2, O2; п3, Dz имеют один и тот же порядок, причем /i1, /г2, п3 достаточно велики.
Решение. По теореме Ляпунова (условия которой выдержапы, так как число п = W1 + /г2 + тг3, вообще, конечно) можно утверждать, что при достаточно большом п вес состава Q имеет приближенно нормальное распределение с характеристиками
зз _
mq «= 2 щтї, Dg = S nj)i\ Og == VD4.
i=l г=1
Вероятность того, что одного локомотива не хватит для перевозки состава, приближенно подсчитывается no формуле
p{Q>q}tt0?-O((q-mq)/oq). >
Пример 6. Показать, что при большом значении а вероятности Pk = p {X = к} для с. в. X, распределенной по закону Пуассона с параметром а, можно приближенно подсчитывать по формуле
р{Х = Щ = ^е-а = р{к, а)«
J ф _ф(і=М=-)( (,0.2.20)
где Ф(я)— функция Лапласа.
Решение. В примере 3 п. 9.4 мы показали, что распределение Пуассона устойчиво по отношению к операции сложения. Поэтому с. в. X можно представить в виде:
X = U Хи
(=1
10.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 425
где Xi — независимые, одинаково распределенные с. в., распределенные по закону Пуассона с параметром а/п. С другой стороны, при достаточно большом п св. X по центральной предельной теореме будет иметь приближенно нормальное распределение с параметрами тх = а\
Dx = а. Следовательно, P(X = Zc}== ^y-е~а будет приближенно равна вероятности того, что с. в. X, распределенная по нормальному закону с параметрами тх = a; Dx = = а, попадет в интервал (& — 0,5; к + 0,5):
Р,*-ч_4.-„ф(!±^)-ф(і=^).
Эта формула дает вполне удовлетворительный по точности результат при а>20. Из (10.2.26) следует, что
Д К а) - S Р (*> я)-фҐ + + 0t5> > (10.2.27)
Пример 7. ТУ состоит из большого числа п одинаковых элементов, работающих независимо. Каждый элемент имеет очень малую вероятность отказа р. Пользуясь аппаратом характеристических функций, вывести расчетные формулы для определения закона распределения с. в. X — числа отказавших элементов.
Решение. Случайная величипа X распределена по биномиальному закону с параметрами пир:
