Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Однако пользование условием Линдеберга на практике затруднительно, так как нам редко бывают в точности известны закопы распределения случайных величин
Исторически первой доказанной формой центральной предельной теоремы явилась теорема Лапласа, состоящая в следующем. Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то при больших п справедливо приближенное равенство:
P {а < (Yn - пр)/ Vnpq < ?} « Ф (?) - Ф (а), (10.2.15)
где Yn — число появлений события А в п опытах; q = = 1 — р; Ф(х) — функция Лапласа.
Выведем формулу (10.2.15) как следствие центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых. «Нормированная» случайная величина
связанная с Yn липейной зависимостью, строго говоря, дискретна, так же дискретна с в. Fn, распределенная по биномиальному закону, но при большом п ее значения расположены на оси абсцисс так тесно, что можно ее рассматривать как непрерывную, с плотностью распределения j(z). Случайная величина Yn имеет биномиальное распределение с параметрами п, р; ее математическое ожидание M [Yn] = пр\ ее дисперсия равна D [Yn] = npq. НайдвхМ числовые характеристики случай-
(10.2.14)
X, (J-!,г,...,*).
Zn=(Yn-np)/1npq,
(10.2.16)
14*
420 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ной величины (10.2.16) как м.о. и дисперсию линейной функции от с. в. Yn. Имеем:
M [Zn] = (M [Yn] - пр)/ V^Fq = (пр - пр)/ V^pq = 0 D[ZJ = I; о [Zn] = 1,
Таким образом, случайная величина Zn (10.2.16) имеет пе зависящие от п числовые характеристики т = 0, о=1 (потому мы и перешли к св. Zn от Yn).
п
Учитывая, что Yn = S ^i» где Х{ — индикатор собы-
тия Л в 1-м опыте, убеждаемся, что св. Zn (10.2.16) есть сумма п независимых одинаково распределенных случайных величин. Применяя центральную предельную теорему для одинаково распределенных слагаемых, убеждаемся, что при большом числе опытов п с. в. Zn имеет распределение, близкое к нормальному, с параметрами т =в 0; о = 1, откуда и следует справедливость формулы (10.2.15).
Теорема Лапласа дает возможность приближенно находить вероятности значепий случайных величин, распределенных по биномиальному закону при больших значениях параметра щ при этом вероятность р пе должна быть ни слишком большой, ни слишком малой.
Практически можно судить о возможности замены биномиального распределения нормальным по тому, выполнены ли при данпых пир условия:
пр - 3fnfq > 0; пр + Mnpq < п. (10.2.17)
Если эти условия соблюдены, то можпо вычислять вероятности Ph = P {Yn = к} как приращение нормальной функции распределения па участке от ft до ft+1:
Pk = P{Yn = k}&F(k+l)-F (к)% (10.2.18)
где F(x)~- функция распределения нормального закона: F (х) = 0,5 + Ф ((х - т)/о). (10.2Л9)
Подставляя в (10.2Л9) m = np и o = l/npq, получим: /7(^)=0,5 + Ф((х - пр)/Ьт). (10.2.20)
Вычисляя приращение этой функции на участке от
ft до ft + 1, получим: _ _
Р**Ф((*+ i-np)/1npq)-<b{(k-np)!1npq). (10.2.21)
10.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 421
Теорему Лапласа (10.2.15) можно записать в несколько ином виде, если перейти обратно от нормированной св. Zn (10.2.16) к св. Yn — числу появлений события в п опытах, связанной с Zn линейной злргтгимостыо:
Yn = 1npqZn + пр.
Функция распределения случайной величины Fn при большом п будет сколь угодно близка к нормальной функции распределения с параметрами ту — пр\ о„ = — llnpq:
P{Yn<y} = F (у) = 0,5 + Ф {(у - пр)/ Vwq\
а вероятность попадания случайной величины Yn на любой участок от а до ? приближенно равна
p{a<r„<?}-F(?)-F(a), откуда — другая форма записи теоремы Лапласа:
Р(а<Уп<р} = ф(Ь^)-ф(^#). (10.2.22)
Рассмотрим ряд примеров, в каждом из которых для решения задачи следует применить ту или другую форму центральной предельной теоремы.
Пример 1. Имеется п идентичных технических устройств (ТУ), время безотказной работы каждого 1-го из которых — случайная величина Ti, распределенная по показательному закону с параметром %, одинаковым для всех ТУ. Число п собранных в такую систему ТУ достаточно велико. Случайные величины Ti, T1, ..., Tx, ... ..., Tn независимы между собой. В случае отказа і-го ТУ происходит мгновенное и безотказное переключение на следующие по порядку (і+1)-е ТУ (i +Kn). Общее время Г безотказной работы системы ТУ равно сумме времен Тії
п
T = S Т{. (10.2.23)
i=i
Найти приближенно вероятность того, что система ТУ проработает безотказно время, не меньшее заданного т:
P {T > т} = P {T > т}, (10.2.24)
(поскольку с в. T непрерывна, знак равенства можно отбросить).
422 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Решение. Согласно центральной предельной теореме для одинаково распределенных слагаемых, с. в. T (10.2.23) будет распределяться приближенно по нормальному закону с параметрами:
п
т=мт = 2.м[г*] = ^; Dm
O = O[T] = ^..
Находим приближенно вероятность (10.2.24): Р{Г>т}-1-Р{Г<т}-1-F(t)1
где F (т) — функция нормального распределения с параметрами _
