Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Pf-\r \ /~і7П 771 Tl—th
(X = т) = Спр q
Характеристическая фупкция св. X (см. (8.9.12)) имеет вид:
(q + peu)n = [l-p{l-eu)]\
Разложим эту функцию по малому параметру р и ог-раничимся четырьмя членами:
(q + pelt)n a 1 — пр (1 — еи) +
+ l&jp« f (1 - e»f _ Mn2) f (1 _
Разложим также характеристическую функцию с в. X, распределенной по закону Пуассона (см. (8.9.13)) с параметром пр (считая его малым):
e-»*(i-««) e«) + ^!(1 _ е«)2 - ^f-V-e*')3.
426 ГЛ: і O4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Так, при п ==106 и /?=10"7 (лг/7 = 0,1) имеем
т
0
l
2
г>т „ ТП „Tl—771
S р я
0,904837
0,090484
0,0045240
(пр)те-пр т\
0,904837
0,090484
0,0045240
т
3
2
стрт дп~т
0,000151
0,999996
ml
0,000151
0,999996
т. е. совпадение очень точное. >
Пример 8. Произвести аппроксимацию нормального закона с параметрами тх и Dx законом Эрланга га-го порядка с параметром К (см. (6.4.8)).
Решение. На основании цептралыюй предельной теоремы можно считать, что с. в. Т(п), распределенная по закону Эрланга га-ого порядка (га>10), будет приближенно распределена по нормальному закону с параметрами M [Т(п)] = п/К; D [T'(я)] = га/л2. Следовательно, с. в. X с нужным нам нормальным распределением определяется через Т(п) формулой
X = Т(п) - л/Я + тх,
а величина К определится из условия Ac = D [Г(»>] - п[Х\
откуда _ _
Vn/У Dx. >
Пример 9. Провести аппроксимацию нормального закона с параметрами тх и Dx с помощью суммы га не-
Если величипа пр мала (пр < 0,1), то можно приближенно считать, что (q + реи)п « ?-^pd-e**) И) следовательно,
P {X = т) = Cnpmqn~m » -?^ (10.2.28)
10.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
427
зависимых с. в. X1, ..., Xn, распределенных равномерно в интервале (0, 1).
Решение. На основании центральной предельной теоремы при большом п случайная величина
yn = 2 хі
распределена приближенно по пормалыюму закону с параметрами
M [yn] = пМ [x1] = D [yn] = nD [X,] = JL
Нужную нам случайную величипу X представим как линейпую функцию случайной величины Yn:
X = aYn + b. (10.2.29)"
Находим /
тх = a-^- + b; Dx= а2—.
Откуда находим коэффициенты а и Ъ в формуле (10.2.29) a - HWJlTi] Ь = тх- 1W~xn.
Итак, чтобы получить случайную величину X, распределенную приближенно по нормальному закону, падо сложить достаточно большое число п независимых случайных величин, распределенных равномерно в интервале (О, 1) и подвергнуть их сумму линейному преобразованию (10.2.29).
В практике работы с ЭВМ при моделировании случайных явлений получают нормально распределенные случайные величины именно таким способом Опыт показывает, что вполне удовлетворительную точность можно получить уже при п = 6; числа п = 10 -s- 12 за глаза достаточно. >
Пример 10. В кассе учреждения имеется сумма d = 3500 (руб.). В очереди стоит п = 20 лиц. Сумма X, которую надо выплатить отдельному лицу — случайная величина с математическим ожиданием тл=150 (руб.) и средним квадратическим отклонением а* = 60 (руб.). Найти вероятность того, что суммы d не хватит для выплаты денег всем людям, стоящим в очереди.
Решение. На основании центральной предельной теоремы для одипаково распределенных слагаемых при
428 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
большом п (а п = 20 практически можно считать «большим»), случайная величина
п
Yn = 2 i=i
где Xi •— сумма, которую надо выплатить ?-му лицу, имеет приближенно нормальное распределение с параметрами:
TYIyn = п-тх; Dyn = nDx\ аУп = Vn Gx;
или
тУп = 20.150 = 3000; aVn = /20-60 « 268;
P {Fn> 3500} = 0,5 — Ф ((3500 - 3000)/268) & 0,032.
Итак, с вероятностью около 3% имеющейся в кассе суммы не хватит для выплаты всем, стоящим в очереди.
Пример 11. В условиях предыдущего примера: какую сумму а нужно иметь в кассе для того, чтобы вероятность того, что ее не хватит для выплаты всем стоящим, стала равна 0,005?
Решение. Имеем условие P {yn > а) = 0,5 — Ф ((а— -3000)/268) = 0,005, т. е. Ф( (а-3000)/268)-0,495. По таблице ф(х) приложения находим аргумент функции Лапласа, при котором она равна 0,495:
й~268°° A откуда а = 3691,
Итак, сравнительно небольшого увеличения суммы а (от 3500 до 3691) достаточно для того, чтобы гарантировать выплату всем с очень высокой вероятностью 0,995. >
Пример 12. Монета подбрасывается n = 1000 раз. Рассматривается св. X — число выпавших гербов. Определить интервал возможных значений с. в. X, симметричный относительно м. о. этой с. в., в который она попадает с вероятностью 9і = 0,997.
1000
P е ш е н и е. X =* 2 %и где Xi — число выпавших гер-i=i
бов при і-м бросании:
2 (0— если при ї-м бросании выпала цифраА 1 ~~ \l — если при і-м бросании выпал терб.
10.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ^у
M [X1]-0,5; D [XJ = 0,5-0,5 = 0,25 = 2, 1000)
1000
Шх = M [X] = 2 M [Xi] = 0,5.1000 - 500; г=1
1000
Dx = D[I]=SD [X1] = 0,25•1000 = 250;
_ i=i
Ox = /D, «15,8.