Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. Непрерывная св. X распределена равномерно на участке от а до Ь:
(1/(6 —а) при ж є (а, Ь)% /W-Jo при хф(ахЪ).
Перенесем начало отсчета в точку с абсциссой
(a+ ft)/2, то есть отцентрируем св. X; при этом ее м.о.
станет равным нулю, а дисперсия не изменится; обозначим
b — а = с > 0 длину участка, на котором распределена
о
равномерно с. в. X. Центрированная с в. X распределена равномерно па участке (—с/2; с/2); ее с. к. о. равно
о* = с/(2УЗ). Рассмотрим участок 0±3ах, вероятность о
непопадания точки X в который требуется найти. Правая его граница_0 + За* имеет абсциссу Зс/(2УЗ) = = УЗ с/2; так как УЗ с/2 > с/2, эта точка лежит за пределами участка (—с/2; с/2) и вероятность попадания правее ее равна нулю; так же равна нулю вероятность ее попадания левее точки с абсциссой — УЗ с/2. Значит, в случае равномерного распределения «правило трех сигма» действует безошибочно; вероятность его невыполнения равна нулю. >
Пример 4. Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью
f(x) = Ke"Kx при х>0. Его характеристики: тх = Ox = 1/к.
.04 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Отклонение с. в. X от тх больше, чем на За*, возможно только в большую сторону, так как тх— Sax отрицательно. Вероятность невыполнения «правила трех сигма»:
P {X > тх + За*} =
= P {X > 1А + ЗА} = P {X > Щ = 1 - F (4A)1
где F(x) = 1 — ехр {—Xx) — функция распределения с. в. X. Отсюда
P (X > mx + За*} = 1-(1- <Г4ХД) = е~4« 0,0183.
Итак: для показательного закона вероятность невыполнения «правила трех сигма» равна 0,0183; это значительно меньше, чем 1/9 «0,1111, но все же не пренебрежимо мало. Показательное распределение — одно из наименее благоприятных для применения «правила трех сигма» — почти в 2% случаев значения св. X выходят за пределы интервала тх + За*. >
Пример 5. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами т п о.
Вероятность невыполнения «правила трех сигма» P{|X-m|>3a} =
= 1 - P {I X - m I < За} = 1-2Ф(За/а) = 1-2Ф(3),
где Ф(#)—функция Лапласа.
По таблице значений функции Лапласа (см. приложение 2) имеем Ф(3) ~ 0,49865, откуда
р {| X - т j > За} « 1 - 2.0,49865 = 0,0027,
т. е. для нормального закона только ничтожная доля значений с. в. (менее 0,3%) выходит за пределы интервала хп ± За. >
Исторически «правило трех сигма» возникло именно для случая нормального распределения, где оно выполняется с очень высокой точностью, но при более «либеральных» требованиях к точности его можно примепять и к другим случайным величинам.
Опыт учит, что для большинства случайных величин, встречающихся в инженерной практике, «правило трех сигма» выполняется с довольно высокой вероятностью, и для того, чтобы ориентировочно представить себе диапазон практически возможных значений с. в., можно отложить от м. о. т в ту или другую сторону по За.
Переходим к рассмотрению различных форм закона больших чисел, Во всех этих формах утверждается ус-
10.і. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
405
тойчивость средних: при неограниченном увеличении числа опытов п их средний результат приближается (сходится по вероятности) к некоторому постоянному, неслучайному числу.
Термином «сходится по вероятности» мы уже пользовались раньше; теперь дадим ему четкое математическое определение.
Пусть имеется последовательность случайных величин:
X1, X2, ..., Xn, ..»
Говорят, что эта последовательность сходится по вероятности к неслучайной величине а, если при неограниченном увеличении п вероятность события {(Xn-а\<г) (где е >0 — произвольно малое фиксированное число) стремится к единице.
Иначе говоря, каковы бы ни были произвольно малые наперед заданные числа є > 0 и б > 0, всегда найдется такое большое число N1 что для всех номеров, начиная с N
P {| X71 — а I < в} > 1 — 6 (n>N). (10.1.9)
Докажем две теоремы, принадлежащие П. Л. Че-бышеву.
1-я теорема Чебышева (называемая иногда просто «законом больших чисел») состоит в следующем. Пусть имеется с.в. X с м.о. пгх и дисперсией Dx; над этой св. X производится п независимых опытов, в результате которых она принимает значения /X1, X2, ... ..., Xn (п «экземпляров» случайной величины X). Рассматривается среднее арифметическое всех этих зпа-чепий, зависящее от п:
п
«4 2 (ю.1,10)
Случайные величины Yn образуют последовательность; первая теорема Чебышева утверждает, что она сходится по вероятности к математическому ожиданию св. X:
Yn^mx,*) (10.1.11)
71-* OO
*) Знаком ¦ > обозначена сходимость по вероятности; ииог-P
да применяют обозначение ^00*'
406 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
т. е. среднее арифметическое наблюденных в п независимых опытах значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию при п °°.
Доказательство 1-й теоремы Чебышева. Найдем м.о. и дисперсию св. Yn. По теореме сложения математических ожиданий
М[гп] = м[-1|х,] = 1м[|х{
но все св. Хи X2, Xn распределены одинаково и имеют математическое ожидание mXf поэтому
