Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
ную F'(t)= Ъ Phfh)(t).
A = I
В данном примере с. в. T представляет собой сумму
случайного числа случайных слагаемых у
T = 2 Th, где T0 = O, а св. Тк (к>0) распределена по
A=O
закону Эрланга к-то порядка.
Таким образом, закон распределения св. T представляет собой при t > 0 вероятностную смесь законов Эрланга 1-го, 2-го, ..., к-то, ... порядков с вероятностями Pu Рг, •.>, Ph, ...
Найдем м.о. и дисперсию св. Г. По формуле (8.5.4)' находим м. о. случайной величины Т:
м[Г] = і (2MiT1])ph.
A=O \i=0 /
9.8. ВЕРОЯТНОСТНАЯ CMECL РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
393
В нашем случае M [T0] = 0; M [Ti] = 1/р,, следовательно,
OO / h \ оо
Дисперсия св. T равна (см. (8.5.10))
D [T] - (M [Г*])2- D [У] + D [Гіі-М [Г] я -1 + 4 - il,
f f f
так как
D[f0] = 0; (M [Г|])2 = D [T1] = ІДі2 (*>0). >
Задача 2. Вероятностное р, g преобразование пуассоновского распределения. Своеобразной задачей на вероятностные смеси распределений является задача, которую мы назовем «задачей вероятностного /?, q преобразования пуассоновского распределения».
Рассматривается с. в. X, распределенная по закону Пуассона с параметром а. Со св. X связана св. Y следующим образом:
1) если св. X = O, то св. Y принимает значение, равное нулю с вероятностью, равной единице;
2) если св. X=I, то св. Y может принимать два значения: О и 1:
P(Y = OlX=I} = ?, Р{У=1 |Х= 1} =р (р +?-1);
3) если св. X = к (к = 2, 3, ...), то с.в. Y может принимать значения O1 1, и, It и имеет биномиальное распределение с параметрами к, р:
p{y-0|X-ft}-g\ Р{У_1|Х-А}=. kpqk~\
P[Y = т\ X = щ = C/>V~m; (9'8,10)
P{Y = к\Х = к}=* ph
(заметим, что формулы (9.8.10) справедливы и для ft = 0; 1). По формуле полной вероятности имеем
Р{У = 0} = Р(У = 0| X = O)-P(X = O) +
+ P{Y = 0|Х=1}.P(X = I} +...+ Р(Г = 0|X = к} X
XP(X -ft} + ...; (9.8.11)
394 ГЛ 9 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
P{F = m}- 2 P{Y-m\X = k)-P{X = k}-
(9.8.12)
Таким образом, мы доказали, что при вероятностном р, q преобразовании пуассоновского распределения с параметром а получается также пуассоновское распределение, но с параметром ар. (Этим мы, в частности, доказали, что число пробоин в примере 3 п. 8.5 распределено по закону Пуассона.) >
Пример 3. В АСУ за сутки поступает случайное число X информационных документов (ИД), распределенное по закону Пуассона с параметром а. Каждый из поступивших ИД с вероятностью р является срочным (независимо от вида других ИД) и требует приоритетной обработки.
Требуется определить закон распределения числа срочных ИД У, поступивших в АСУ за сутки.
Решение. В соответствии с решением задачи 2 этого п. св. У будет распределена по закону Пуассона с параметром ар:
M [Y] = D [Y] = ар; P (У - к} = ^ е~ар.
Например, если величина а = 100 и р = 0,1, то M [Y] = 10.
св. X распределена по закону Пуассона с параметром а, поэтому P(X = к} = ahe~a/k\. С учетом формул (9.8.10) получим:
р(У = 0} = 1 -є"" + ae~aq + aV~V/2 + ...
. . . + ahe~aqh/k\ + . . . = S ahe'aqh/k\ =
ft=o
= e-a(l-q) ? (aq)h e~aVk\ = e-ap.
к--0
9 8 ВЕРОЯТНОСТНАЯ СМЕСЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 395
С помощью таблицы приложения I7 можно найти вероятность того, что в АСУ за сутки поступят 8 срочных документов:
р{Y = 8} e(iS|jl.e-ep== P(8,10) «0,1126. >
Пример 4. Для условий примера 3 этого пункта найти закон распределения числа Z поступивших несрочных ИД в АСУ за сутки.
Решение. Очевидно, что св. Z будет распределена по закону Пуассона с параметром aq, так как вероятность того, что поступивший в АСУ ИД будет несрочным, равна 1 — р = q. >
Пример 5. Показать, что случайные величины У и Z, рассмотренные в примерах 3 и 4 этого пункта, цеза-висимы.
Решение. По условию
x = y + z,
где с. в. X, У и Z распределены по законам Пуассона с параметрами а, ар, aq соответственно (9==1 —р). Следовательно, имеют место равенства
P{X-m>-?e-; P {У
m-k (*)
P {Z = т -т к) = -^-щ. е~а* (т > к). С другой стороны,
771
P(X = /?*}= 2 P{Y=k; Z^m — k). (**)
Если с в. У и Z независимы, то
р (у = к; Z = т - к} = P {Y - к} P (Z = т - к}
(необходимое и достаточное условие независимости с п. У и Z). В этом случае равенство (**) примет вид:
771
р (X = m} = 2 P (F = P {Z = m - /с) =
й=0
396 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
т
V m\pkqm-k л ^
т* к- 2d fct (щ — к)\ = как сУмма вероятностен бИНОМИаЛЬ-^^О * '
ного распределения с параметрами т, р. Таким образом, мы доказали, что св. Y и Z независимы. >
Замечание: св. X и Y (или X и Z) будут зависимы. Найдем ковариацию Kx^ и коэффициент корреляции гху. Запишем равенство
Z = X-Y
и найдем дисперсию левой и правой части (см. (8.2.13))1
Так как св. X, Y1 Z распределена по законам Пуассона с параметрами а, ар, aq (q = 1 — р), то aq — а + ар — 2ЯЯ1„ откуда
JT84, = ар - M [Y] = D[F]; T^-KJiVDx-VDv)- Vp.
Задача 2 легко обобщается на случай многомерного преобразования пуассоновского распределения.
