Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Задача 3. Вероятностное многомерное Pu Рг, Рз, ..рп преобразование пуассоновского распределения^ 2 р. = 1^. Дана с. в. X1 распределенная по закону Пуассона с параметром а. Эта св. X подвергается преобразованию: с вероятностью р{ получаем св. Yu ...,с вероятностью pi —св. Yi1 ...,с вероятностью рп-с.в. Yni таким образом, как это делалось в задаче 2 этого її.
Если св. X = 0, то св. Yt принимает значение, равное нулю, с вероятностью, равной единице; если св. X=« 1, то св. Yi может принимать два значения: 0 и 1; P[Y1 = 0\Х= 1}=1-р- P(F1 = I(X = I) = P1,
если св. X = 2, то с.в. Yt может принимать три значения: 0, 1 и 2;
P{yi = 0|X = 2} = (l - Plf; P {Yi = 11X = 2} -
P {Yi = 21 X = 2} = pi и т. д. Указанная процедура справедлива для любого 1=1,2,...,«.
9.8. ВЕРОЯТНОСТНАЯ СМЕСЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 397
Требуется определить закон распределения системы св. (Y11 Y24 Yn).
Решение. В соответствии с решением задачи 2 этого пункта св. Yi будет распределена по закону Пуассона с параметром арі. Для доказательства этого достаточно обозначить величину /?< = /? и 1 — Pi = q. Но в качестве мго номера можно рассматривать любой (i = = 1, 2, п), следовательно, система с в. (Y11 Y21 ... ».., Yn) будет представлять собой систему с в., распределенных по законам Пуассона с параметрами ариар21...
арп. Кроме того, в соответствии с решением примера 5 этого п. с в. Уі, Y21 ..., Yn будут независимы. При этом выполняются следующие равенства:
п п
х= 2 Yu а = 2 ар >
і=1 1=1
Пример 6. В АСУ в сутки поступает случайное число X информационных документов (ИД), распределенное по закону Пуассона с параметром а. Каждый из поступивших ИД может с вероятностью Pi (1= 1,2,... ..., п) относиться к f-му виду, независимо от других ИД
2 P1 = 1 !-Требуется определить закон распределения
i=i /
св. У,— число поступивших ИД /-го вида (і= 1, 2,...,п).
Решение. В соответствии с решением задачи 3 св. Yi будет распределена по закону Пуассона с параметром арі (і= I1 2, п)\ св. Yh Y21 Yn будут независимы. >
Замечание, св. X и Y1 (i = I1 п) будут зависимы, так как
X = і Уі.
і=1
Задача 4. Вероятностное многомерное преобразование Pi1 р*, ..., рт биномиального
распределения с параметрами п, р 12P1 = IJ.
Дана с в. X1 имеющая биномиальное распределение с параметрами п, р. Эта св. X подвергается независимому преобразованию: с вероятностью pi^kjn получается св. Yt (J = I1 Tn)1 при этом fc< — такие целые по-
398
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
т
ложительиые числа, что их сумма равна п: 2^і==/г»Тре-
і=1
буется найти закон распределения системы св. (YuY2l...
Ym). Читателю предлагается доказать с помощью приемов, примененных в задачах 2 и 3 этого пункта, что св. Yi, Ym будут независимы и иметь биномиальное распределение с параметрами (Zc1, р), (к2, р), ...
(кт, р) соответственно; при этом будет выполняться равенство
т
X=I1Y1.
1=1
ГЛАВА 10
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
10.1. Закон больших чисел
Математические закопы теории вероятностей получены в результате абстрагирования реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Опыт учит, что, наблюдая массовые однородные случайные явления, мы обнаруживаем в них своеобразные закономерности, определенного типа устойчивости. С некоторыми из них мы уже познакомились в начале нашего курса; например, с тем, что при большом числе однородных независимых опытов частота события Р* (А) становится устойчивой, приближается (сходится по вероятности) к его вероятности P 04). Другой пример: при увеличении числа опытов, в каждом из которых св. X принимает какое-то значение, среднее арифметическое наблюденных значений св. X становится устойчивым, приближается (сходится по вероятности) к ее математическому ожиданию. Оба эти положения представляют собой частные случаи так называемого закона больших чисел. Физическое содержание этого закона может быть сформулировано так: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
В узком смысле слова под «законом больших чисел» понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к определенным постоянным, неслучайным величинам. С некоторыми частными формами закона больших чисел, касающимися поведения частоты события при большом числе опытов, а также среднего арифметического большого числа наблюденных значений случайной величины мы уже встречались ранее, но на описательном, до-математическом уровне. В данном
400 ГЛ, 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
пункте мы докажем некоторые относящиеся сюда теоремы. Все эти доказательства опираются на неравенство Чебышева, которое является для них леммой. Докажем его в первую очередь.
Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины X, имеющей математическое ожидание тх и дисперсию Dx, справедливо неравенство:
