Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 110

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 137 >> Следующая


Если имеет место гипотеза Ни функция распределения св. X равна F{(x). Требуется найти полную («усредненную») функцию распределения F(x) случайной величины X с учетом случайности ее закона распределения. По определению

F(X)- P {X <х).

Найдем эту вероятность по формуле полной вероятности с гипотезами II и Я2, ..., Hn:

F(X)=ZP (Hi) Fi (х) - І P1F1 (х). (9.8,1)

i=l i=l

Если св. X непрерывна, то, дифференцируя (9.8.1), получим выражение для ее плотности:

/(*)-*'(*)-S Рі/іОг). (9.8.2)

Нетрудно убедиться, что функция распределения (9.8.1) и плотность (9.8.2) обладают свойствами функции распределения и плотности: F(x) не убывает при возраста-

OO

пии ж; F(-oo) = 0; F(+~)=l; /(*)>0; J /(*)dar- 1.

— OO

Возникающее таким образом распределение называется вероятностной смесью распределений.

390 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Найдем математическое ожидание и дисперсию смешанного распределения (9.8.1) или (9.8.2). По формуле полного математического ожидания находим:

M [X] - 2 p.mh (9.8.3)

i-i

где rrii — условное м. о. случайной величины X при условии, что имела место гипотеза //,-.

Может показаться, что и дисперсию случайной величины X можно найти точно таким же способом; но это не так (в ее выражение входят условные математические ожидания, различные при разных гипотезах), что касается второго начального момента а2[Х], то он, как м.о. квадрата св. X1 находится аналогично (9.8.3): по формуле полного математического ожидания

аг [X] = M [ХЧ = І р.а<'> [X], (9.8.4)

і = 1

где а2г)[Х]— второй начальный момент св. X прп гипотезе Н{.

Дисперсия с в. X вычисляется по формуле

D [X] =а2 [X] - (M [X]?. (9.8.5)

Пример 1. В партии изделий, состоящей из N экземпляров, N1 изготовлены заводом Зі, N2 — заводом 32 (N1 + N2= N). Время безотказной работы изделия завода Зі имеет показательное распределение с параметром

завода 32 — показательное распределение с параметром А*. Найти плотность f(t) времени безотказной работы изделия наугад выбранного из партии в N изделий.

Решение. Имеем две гипотезы:

H1 — изделие принадлежит заводу 3lt

H2 — изделие принадлежит заводу 32.

Вероятности гипотез

P1 = P (H1) = P2 = P(H2)=^.

Смешанная плотность

/ (t) = VV + Р*V~V (t > 0). (9.8.6)

Распределение (9.8.6) в общем случае уже не будет показательным. >

9.8. ВЕРОЯТНОСТНАЯ СМЕСЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

391

Задача 1. Закон распределения суммы случайного числа случайных слагаемых. Рассмотрим с. в. Z, представляющую собой сумму случайного числа случайных слагаемых:

2-і Хн (9.8.7)

где случайные величины X1 независимы между собой и имеют одинаковую плотность f(x), а дискретная св. Y не зависит от величин X* (J = O, 1, 2, ...) и принимает неотрицательные целочисленные значения 0, 1, 2, ... ..., к, ... Известно распределение дискретной с. в. Y;

pk = P{Y = k} (Л-0, I1 2, ...)«

Требуется найти закон распределения св. Z,

Решение. Сделаем гипотезу, состоящую в том, что с. в. Y приняла значение к > 0. В этом случае условная плотность с. в. Z представляет собой композицию к плотностей /(#); обозначим эту композицию

/(*> — /¦/¦...¦/.

к раз

Если св. Y приняла значение 0, то в сумме нет ни одного слагаемого: Z = O, и это значение обладает отличной от нуля вероятностью; в нем функции распределения G(z) случайной величины Z имеют скачок, равный р0.

При 2, отличном от 0, функция G(z) непрерывна. Найдем ее выражение. По формуле полной вероятности

G (z) = p {Z < Z) = 2 PhFW (z), (9.8.8)

к

где Fih) (г) — функция распределения суммы к независимых случайных величин с плотностью /(#).

Итак, случайная величина Z--величина смешанного типа; она имеет одно значение 0 с отличной от нуля вероятностью Po, а при Z > 0 представляет собой вероятностную смесь распределений с плотностями P (%)', нроизводпая G(z) равна

к

Пример 2. Рассматривается работа ремонтной бригады. За ограниченное время t приема заявок на опре-

392 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ

деленный вид ремонтных работ поступает случайное число заявок Y1 распределенное по закону Пуассона с параметром а; прием заявок за время t неограничен. Закон распределения времени Т{ ремонта по г-й заявке — показательный с параметром \х (? = 1, 2, ...). Случайные величины Ti независимы, одинаково распределены и не зависят от числа принятых заявок У. Найти закон распределения и числовые характеристики времени T выполнения всех заявок, поступивших за время t: T = \.

A=O

Решение. Вероятность того, что за время t поступит ровно к заявок на ремонт, равна:

рк = а*е-аШ (к = О, 1, 2, ...)\

Если не поступит ни одной заявки (к = 0), то время ремонта будет равно пулю: T0 = 0.

Если поступит к заявок, время ремонта будет распределено по закону Эрланга &-го порядка (см. (6.4.8)):

/<*>(t) =\1№)к~1е-**/(к- 1)! = \хР(к- 1, ixt) (t>0, /с>0),

где Р(к, а) —табличная функция пуассоновского распределения (приложение 1). Случайная величина T является смешанной, принимающей значение J = Oc вероятностью Po] при t>0 F(t) пепрерывна и имеет производ-
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed