Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 117

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 137 >> Следующая


П-»0О

Rh (X711 Уп, Фп)-^іі*(х, (10.1.28)

Одно из инженерных приложений этой теоремы следующее. Входные воздействия на техническое устройство (ТУ) представляют собой случайные величины Xn, Уп,... ..., Wni сходящиеся по вероятности при увеличении п к неслучайным. Выходная величина ТУ определяется по формуле R(X111 Yn, Wn), где R — рациональная функ-

І0.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

413

ция. В этом случае при достаточно большом п в качестве выходной величины ТУ можно приближенно рассматривать неслучайную величину г/, ..., w).

Заметим, что никаких ограничений на зависимость (или независимость) с. в. Zn, Yn, ..., Wn при этом не накладывается.

10.2. Центральная предельная теорема

Одно из важнейших положений теории вероятностей — так называемая центральная предельная теорема. Как и закон больших чисел, она имеет ряд форм. Во всех формах закона больших чисел устанавливается факт сходимости по вероятности каких-то случайных величин к постоянным, не случайным — при увеличении п — числа опытов или числа наблюдаемых случайных величин.

В данном пункте мы рассмотрим другую группу предельных теорем, а именно теоремы, определяющие условия возникновения нормального распределения (закона Гаусса). Такие условия часто встречаются на практике, что и объясняет широкую распространенность нормального закона в случайных явлениях природы.

Кое-что об этих условиях (на чисто описательном уровне) мы уже говорили раньше (гл. 6), там, где впервые встретились с нормальным распределением. А именно, нормальное распределение возникает тогда, когда суммируется много независимых (или слабо зависимых) случайных величин, сравнимых по порядку своего влияния на рассеивание суммы.

В практической деятельности инженера такая обстановка встречается нередко.

Пусть, например, рассматривается отклонение Yn выходного параметра большой интегральной схемы (БИС) от номинала. Это отклонение (при известных допущениях) может быть представлено как сумма п элементарных отклонений, связанных с отдельными причинами:

Уп=І*і, (10.2.1)

і=і

где, например,

X1 — отклонение, вызванное влиянием температуры; X2 — отклонение, вызваппое влиянием влажности воздуха;

414 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

и т. д.

Число п этих элементарных отклонений весьма велико, как и число п причин, вызывающих суммарное отклонение Yn: обычно слагаемые Xi, X2, ..., Xn сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы. Действительно, если бы какая-то из случайных величии Xi, X2, ..., Xn оказывала существенно большее влияние на рассеивание суммы, чем все остальные, было бы естественно Припять специальные меры для того, чтобы устранить главную причину рассеивания; поскольку такие меры не предпринимаются, можно предположить, что оставшиеся случайные слагаемые сравнимы по порядку своего (равномерно малого) влияния на рассеивание суммы.

Нормальный закон широко распространен в технике; в большинстве случаев ошибки измерения параметров, ошибки выполнения команд, ошибки ввода различных величин в техническое устройство распределены по нормальному (или близкому к нормальному) закону; такая ошибка обычно может быть представлена в виде суммы многих «элементарных ошибок» X1-, каждая из которых связана с отдельной, практически независимой от других, причиной.

Именно в применении к теории ошибок был впервые обоснован Лапласом и Гауссом нормальный закон.

Нормальный закон широко распространен в биологии: вес, размер и другие параметры представителей растительного и животного мира во многих случаях имеют нормальное распределение, так как их разброс вызван суммарным воздействием многих факторов, среди которых нет доминирующих по своему влиянию.

Центральная предельная теорема в различных ее формах устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение и нарушение которых ведет к распределению, отличному от нормального.

Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой условиями, накладываемыми на распределения образующих сумму случайных слагаемых X11 X2, ..., Xn. Чем жестче эти условия, тем легче

X3 — отклонение, вызванное ошибкой ввода какого-либо параметра;

X4 — отклонение, вызванное недостаточной чистотой материала изделия;

10.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

415

доказывается теорема; чем они шире, тем труднее доказательство. Здесь мы докажем одну из самых простых форм этой теоремы, а именно, центральную предельную теорему для одинаково распределенных слагаемых.

Теорема. Если X1, X2, ..., Xn, ...-— независимые случайные величины, имеющие одно и то оке распределение с математическим ожиданием m и дисперсией о2, то при увеличении п закон распределения суммы

Yn = 2 Xk (10.2.2)

неограниченно приближается к нормальному.

Доказательство. Проведем доказательство для случая непрерывных случайных величин (для дискретных оно будет аналогичным). Применим для этого аппарат характеристических функций*). Согласно свойствам, доказанным в п. 8.9, характеристическая функция суммы (10.2.2) равна произведению характеристических функций слагаемых. Случайные величины X1, X2, ..., Xn имеют одну и ту же плотность /(#), а значит и ту же характеристическую функцию ftxit). Не нарушая общности, можно перенести начало отсчета всех случайных величин X1, X2, ..., Xn в их общее математическое ожидание т; это равносильно их центрированию и, значит, тому, что м. о. каждой из них будет равно нулю.
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed