Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
п
M [Yn] = rnx mx === тх.
i=l
Вынося из-под знака дисперсии 1/п2 и применяя теорему сложения дисперсий для независимых св. X1, X2, ..., Xn, найдем:
п
л riD„ О,.
D[r„] = i2D№l = T = 7-
Применяя к св. Yn неравенство Чебышева, в котором положим а = е, где е — сколь угодно малое наперед заданное положительное число, получим:
P (I Yn - тх I > е} < Dx/(m*). (10.1.12)
Как бы ни мало было є, всегда можно выбрать п таким большим, чтобы правая часть (10.1.12) стала меньше сколь угодно малого положительного числа б; поэтому при достаточно большом п
Р{| Гп-™*|>е}<6,
а вероятность противоположного события
P {| Yn-^|<е}>1-б, (10.1.13)
а это, мы знаем, равносильно сходимости по вероятности
10.1. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 407
Yn к тх:
Yn^mx, (10.1.14)
и первая теорема Чебышева доказана.
Эта теорема может быть записана и в другом виде: обозначая Zn = Yn- тх, получим
Zn-^O, 10,1,15
и вообще, если случайная величина Yn при п -* «> сходится по вероятности к постоянной а, то это значит, что разность между Yn и а при п ->¦ оо сходится по вероятности к нулю. Именно в такой форме мы будем записывать сходимость по вероятности во второй теореме Чебышева.
2-я теорема Чебышева. Только что доказанная 1-я теорема Чебышева относилась к случаю, когда все св. Z1, X2, Xn были независимы и имели одно и то же распределение, а значит, одно и то же м. о. пгх и одну и ту же дисперсию Dx. Теперь мы рассмотрим случай, когда условия независимых опытов меняются, то есть их результаты представляют собой неограниченную последовательность независимых с. в. X1, X2, ..., Xn, ... с различными, в общем случае, математическими ожиданиями тч и дисперсиями DXi (J = i1 2, гс, ...). Обозна-
п
чим снова Yn = (1/w) 2 и докажем, что если все
і—1
дисперсии Ac. ограничены сверху одним и тем же числом D:
Dx-^D (/ = 1,2, ...,л, ...), (10.1.16)
то разность между средним арифметическим наблюденных значений случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий сходится по вероятности к нулю *).
*) Может возникнуть вопрос: почему в этом случае мы не говорим, что среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин при п -> оо сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий (так иногда и формулируется 2-я теорема Чебышева)? Потому что в данном слу-п п
чае как (1M) 2 Я\, так и (1M) 2 77V зави^ят от /г, а понятие
г=1 г=1 1
«сходимость по вероятности» определено нами только для постоянной величины а, не зависящей от и.
408 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Доказательство снова проведем, применяя неравенство Чебышева к Уп. Для этого найдем
М[Г„]=4гМ
D|r„]-lD
2*
i = l
п
І = І
-і І а,-
(10.1.17)
Согласно неравенству Чебышева
^""42 ті\>г[ <
i^l
«2 '
или, учитывая (10.1.17),
42**-45Х >е <-Ь2Х- (ю.1.18)
i==l
Учитывая, что все дисперсии DX{ (і = 1, 2, ..., п) ограничены сверху величиной D1 и заменяя в (10.1.18) все DXi на D1 мы можем только усилить неравенство; поэтому
тх
і=і
І п є пе
Как бы ни было мало произвольное наперед заданное е, всегда можно выбрать п таким большим, чтобы правая часть (10.1.19) стала меньше произвольного малого 6; поэтому
п п 1
42 42 >4<6> (Ю.1.20)
откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство:
п п
i=l
<є >l-fi. (10.1.21)
Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины.
Пусть X11 X21 ..., Xn, ...— зависимые случайные ве-
личины с математическими ожиданиями тх
¦ і Wxn И
ІО.І. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 409
І і2х*- 4-І)
L i-i i=i J
П-+0о
V*0' (10.1.24)
Доказательство. Применим к величине Yn неравенство Чебышева
п
>4<^г, (10.1.25)
1=1 1=1
Так как по условию (10.1.23) при п-+оо DVn-+0, то при произвольно малом є можно выбрать п настолько большим, чтобы правая часть (10.1.25) стала меньше любого б > 0
О О
ковариационной матрицей || К^\\ = ||М [XiXj] ||, размеры которой зависят, разумеется, от п. Математическое ожида-
п
ние случайной величины Yn = (1/и) 21 %i по-прежнему
п
равно тУп = (1/п) 2 mxv Для зависимых случайных ве-
личин дисперсия суммы равна сумме всех элементов ковариационной матрицы; отсюда
п п
п i=Ij = I
Наложим на элементы ковариационной матрицы условие, состоящее в том, чтобы двойная сумма в формуле (10.1.22) возрастала при п оо медленнее, чем п2; тогда
Jim Dyn = O. (10.1.23)
П-*оо
Теорема Маркова состоит в следующем: если с. в. Xi1 ..., Xn — зависимые случайные величины с математическими ожиданиями mx^ ..., тХп и дисперсиями Dx^ ..., Dxn,удовлетворяющими условию (10.1.23), то разность между их средним арифметическим и средним арифметическим их математических ожиданий сходится по вероятности к нулю:
410 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
а вероятность противоположного события
