Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, что характеристическая функция каждой из св. Xh (ft = l, 2, п), по определению, равна (см. (8.9.4))
OO
j eitxf(x)dx, (10.2.3)
—•OO
где і ¦= V-I — мнимая единица. Характеристическая фупкция случайной величины Yn равна произведению п характеристических функций слагаемых (см. 8.9.9):
*у„(*)-1*«(*)]п- (10.2.4)
Разложим функцию Ьх(і) в окрестности точки ? = О в ряд Маклорена с тремя членами:
(O - О* (0) + К (0) t + [K (0)/2 + а (*)] t\ (10.2.5) где производные берутся по t\ а (V)-> О при ?->0.
*) Заметим, что этот аппарат был создан А. М. Ляпуповьш специально для доказательства центральной предельной теоремы.
416 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Найдем значения Ox(O); $'х(0); Ox(O). Полагая в формуле (10.2.3) J = O, имеем:
OO
МО)- J f(x)dx=i
— OO
по свойству плотности распределения j{x). Продифференцируем (10.2.3) по t:
OO OO
Oi(Q= j ixe-iixf(x)dx = i j xeitxf(x)dx. (10.2.6)
— 00 7-00
Полагая в (10.2.6) ? = 0, получим:
OO
О* (0) = і j х/ (ar) dx = гМ [X],.
— oo
где M [X] — математическое ожидание св. Xc плотностью f(x). В пашем случае все случайные величины X1, X2, ..., Xn имеют плотность /(#), а их общее м.о. равно нулю; поэтому
К (0) = о.
Продифференцируем (10.2.6) еще раз:
00
МО--J x2eitxf(x)dx.
— OO
Полагая t = 0, получим
OO
Mo)-- J *»/(*)
— OO
а это есть не что иное, как дисперсия центрированной св. Xc плотностью j(x) (со знаком «минус»). Следовательно,
**(0)- -а2.
Подставляя в (10.2.5) Ox(O)= 1; О*(0) = О и О*(0) -= — а2, получим
*«(0=1-[а72-а(0]Л (*)
Обратимся к случайной величипе Yn. Мы хотим доказать, что при увеличепии п ее закон распределения
10.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
417
приближается к нормальному. Для этого перейдем от пее к линейно связанной с Yn «нормированной» случайной величине
Эта величина удобна тем, что ее дисперсия но зависит от п и равна единице при любом /г. В этом нетрудно убедиться, рассматривая Zn как линейную функцию независимых случайных величин X1, X2, ..., Xn, каждая из которых имеет дисперсию о2.
Если мы докажем, что с. в. Zn имеет нормальное распределение, это будет означать, что и с. в. Yn, линейно связанная с Zn, распределена нормально.
Вместо того, чтобы доказывать, что закон распределения с. в. Zn при увеличении п приближается к нормальному, докажем, что ее характеристическая функция, однозначно определяющая плотность, приближается к характеристической функции нормального закона с теми же, что у Zn, параметрами: т?п = 0; oZn = 1 (8.9.IG).
Найдем характеристическую функцию с. в. Z. Из свойства (8.9.7) характеристической функции (п. 8.9) имеем:
где $уп— характеристическая фупкция св. Yn. Из (10.2.4) и (10.2.8) имеем:
Zn = YJ{o1n).
(10.2.7)
(10.2.8)
Или, пользуясь формулой (*У,
К (0 = (1 - [т - а М° 'W)}"-
(10.2.9)
Прологарифмируем это выражепие:
Введем обозпачепие
~-а(*/(ог Vn))] <V(w2) = х. (10,
(10.2.10)
Тогда
In O2n(O = OIn(I-K).
(10,2.11)
14 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
418 ГЛ. 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Будем неограниченно увеличивать п; при этом вели-чипа и, согласно (10.2.10), будет стремиться к нулю. Разложим In(I- к) в ряд по степеням и и ограничимся одним членом разложения (остальные при п «> станут пренебрежимо малыми):
In(I — и) « -к.
Тогда
lim InO ,яHm л.(— x)-lim(—і2/2 + а(^/(аі/"л))г2/а2)=-
--t2l2 + lira a(t/{a Vn)) t2/o2.
Ho функция a(t) стремится к нулю при t-> 0; следовательно, Hm a(t/(o Vn)) = 0 и HmInO3n (О= — t2/2r
П-*оо п->00
откуда Hm O2n(/) = е~ 2, а это есть не что иное, как
характеристическая функция случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами m = 0, о = 1 (см. (8.9.16)).
Таким образом, мы доказали центральную предельную теорему для частного случая одинаково распределенных слагаемых. Другие, более общие (и более сложные) формы центральной предельной теоремы мы приведем без доказательства.
Теорема Ляпунова. Пусть Хи X21 ..., Xn — независимые случайные величины с математическими ожиданиями wXi, тХ2І ..., Шхп и дисперсиями Dx^ Dx^
• • • і Dxn, причем при п оо
п I / п \ 3/2
lim S X 7 S AcJ =0, (10.2.12)
О
где Xft «s Xfe — /ttfc.
А. М. Ляпунов доказал, что при п оо закок рдс-пределения случайной величины
Yn= S Xfc (10.2.13)
неограниченно приближается к нормальному.
Смысл условий (10.2.12) состоит в том, чтобы в сум* ме (10.2.13) не было слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы подавляюще велико по сравнению с
10 2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
419
влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы исчезающе мало по сравнению с суммарным влиянием остальных.
Наиболее общим (необходимым и достаточным) условием справедливости центральной предельной теоремы является условие Линдеберга: для любого т > О
где /г(х)плотность распределения св. Xt1 KIi=M[X1] (i = 1, 2, ..гг).
