Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
На осповапии цептральпой предельной теоремы с. в. X распределена нормальпо, следовательно,
P (I X - тх I < е} = 2Ф (^pJ = & = 0,997; Ф ^=0,4985.
По таблицам Ф (.z J—функции Лапласа находим: — & 2,97; е «0*2,97 ж 15,8-2,97 « 47,0.
Искомый интервал будет:
(го»-є; тх + е)-(500-47; 500 + 47) = (453; 547).
Итак, с очень большой вероятностью 0і = 0,997 можно утверждать, что число выпавших гербов будет заключено в пределах от 453 до 577 (об этом уже говорилось в п. 1.1). >
ГЛАВА 11
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
11.1. Предмет и задачи математической статистики
Ранее в книге мы уже говорили (правда, довольно бегло) об экспериментальных, статистических аналогах таких понятий теории вероятностей, как «вероятность события», «функция распределения», «плотность вероятности», «математическое ожидание» и т. д. и о том, как можно по статистическим аналогам приближенно оценивать интересующие нас характеристики. В данной главе, опираясь на уже знакомый читателю математический аппарат, мы рассмотрим эти вопросы более подробно.
Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки опытных данных, полу-ченпых в результате наблюдений над случайными явлениями. Любой такой результат можно представить как совокупность значений, принятых в результате п опытов какой-то случайной величиной или системой случайных величин. Поэтому все изложение здесь будем вести на языке случайных величин.
Перед любой наукой ставятся, в порядке возрастания сложности и важности, следующие задачи: 1) описапие явлений; 2) анализ и прогноз; 3) выработка оптимальных решений.
Стоят такие задачи и перед математической статистикой.
Пример задачи первого типа: в наше распоряжение поступил статистический материал. Как его упорядочить, представить в наиболее удобном для обозрепия и анализа виде? Какими формами таблиц, графиков лучше всего воспользоваться?
Пример задачи второго типа: как, на основапии статистических данных, оцепить, хотя бы приближенно, интересующие пас характеристики, папример, м. о., дисперсию и с. к. о. случайной величины, над которой велись
11.і. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
431
наблюдения? G какой точностью, при дапном количестве опытов, будут оцениваться эти характеристики?
Пример задачи третьего типа: пазпачить число опытов п, достаточное для того, чтобы разница между частотой события р* и его вероятностью р с достаточно большой вероятностью не превзошла заданной величины е, или для того, чтобы ошибка от замены математического ожидания средним арифметическим (опять-таки с достаточно высокой вероятностью) была не больше заданной. Одной из характерных задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез. Ставится опа так: в нашем распоряжении имеется совокупность опытных данных, относящихся к одной или нескольким случайным величинам. Спрашивается, противоречат ли эти данные той или другой гипотезе? Например, гипотезе о том, что случайная величина X распределена по закону с плотностью /(я), или о том, что две случайные величины X, Y пекоррелированы и т. п. Все такие задачи решаются по определенной схеме: выбирается какая-то мера отклонения R экспериментальных данных от гипотетических, являющаяся функцией наблюденных в опыте значений; находится (точно или приближенно) закон распределения с. в. R и, на основе этого закона, вычисляется вероятность того, что с. в. 7? примет значение не меньшее, чем то значение г0, которое фактически зарегистрировано:
р{Д >г0). (И.1.1)
Если эта вероятность очень мала, то можно считать событие R>r0 практически невозможным, а опытные данные противоречащими гипотезе; последнюю нужно отвергнуть. Если же она не мала, то опытный материал не противоречит выдвинутой гипотезе (хотя и не подтверждает ее).
Таким образом, в результате проверки правдоподобия гипотезы может быть сделан один из выводов: 1) отбросить гипотезу, как противоречащую опытным данным; 2) не отбрасывать гипотезу, считать ее приемлемой.
Напомним читателю, что назначение той вероятности, которую следует считать «очень малой», в значительной мере условно и носит на себе неизбежно черты произвола; но не носят ли ее на себе в той или иной мере все решения, которые мы принимаем в нашей практической деятельности? Ни одно из них мы не принимаем
432 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
послушно, с закрытыми глазами, слепо доверяясь какой-то теории. Размышляющий, оценивающий, сопоставляющий человеческий разум всегда должен первенствовать в любой задаче выбора решения. Теория должна подсказать человеку разумный выбор, оценить последствия каждого варианта выбора, и в этом ее основное назначение.
Математическая статистика ие представляет исключения. Она помогает экспериментатору лучше разобраться в опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями; оцепить, значимы или не значимы наблюденные факты; принять или отбросить те или иные гипотезы о природе явления.
D настоящей главе мы рассмотрим вкратце и в самом элементарном виде задачи всех трех типов: способы описания результатов опыта; способы обработки опытных данных и оценки по ним интересующих нас характеристик случайного явлення; наконец, способы выработки разумных решений.
