Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
что и доказывает сходимость по вероятности к нулю раз-
ности между Yn и тХі в формуле (10.1.24).
Помимо различпых форм закона больших чисел, в теории вероятности имеются еще разные формы так называемого «усиленного закона больших чисел», где доказывается пе «сходимость по вероятности», а «сходимость с вероятностью единица» различных средних к неслучайным средним; в виду относительной кеважности этих форм для технических приложений, мы на них специально не останавливаемся.
Докажем два следствия закона больших чисел (1-й и 2-й теорем Чебышева).
1. Теорема Бернулли. При неограниченном воз-растании числа п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, частота события А сходится по вероятности к его вероятности р.
Эту связь между частотой и вероятностью мы уже устанавливали (без специального доказательства); теперь мы ее выведем как следствие закона больших чисел.
По определению, частота события есть отношение числа появлений событий в п опытах к числу опытов п:
Представим случайную величину Rn в виде суммы индикаторов события А:
где Xi-— ипдикатор события А в е-м опыте:
!0 если в г-м опыте событие А не появилось 1 если в г-м опыте событие А появилось.
п
1
Pn(A) = RnIn.
(10.1.26)
п
Rn= 2 Xi
Частота (10.1.26) есть пе что иное, как среднее арифметическое п наблюденных значений случайной величины X —индикатора события Л
10.1. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
411
в одном опыте. Напомним, что м. о, индикатора события равно его вероятности р. Согласно теореме Чебышева
Pn(A) р, что и доказывает теорему Бернулли*).
Теорема Бернулли относится к случаю, когда все опыты производятся в одинаковых условиях, и вероятность появления события А во всех них одна и та же и равна р. К более общему случаю, когда вероятности ри р2} ...
рп, ... различны, относится теорема Пуассона.
Пусть производится неограниченное число п независимых опытов, в каждом из которых может появиться событие А, причем его вероятность в і-м опыте равна р{.
Теорема Пуассона утверждает, что при п оо разность между частотой событий А и средним арифметическим его вероятностей сходится по вероятности к нулю:
[Рп (А) -\ 2 Pi]^-O. (10.1.27)
Доказательство. Теорема Пуассона — следствие 2-й теоремы Чебышева. Действительно, величина
п
Pn (А) = (1/п) 2 Xi есть среднее арифметическое индика-i=i
торов события А в 1-м, 2-м, ..., і-м, ..., гс-м опытах. Случайная величина X имеет м. о. тпХ{ = pi и дисперсию Ac* = Pi(I — Pt) (п. 3.3); дисперсии Dx1 при любом і ограничены сверху одним и тем же числом D = 0,25 (максимальным значением рг (1 — р»), достигаемым при # = 0,5). Применяя вторую теорему Чебышева к среднему арифметическому индикаторов, убедимся в справедливости теоремы Пуассона.
Закон больших чисел во всех его формах имеет большое значение в практических применениях вероятностных методов, в частности, в инженерной практике. Выше мы уже убедились, что для нахождения числовых характеристик функций случайных величин (например, ошибок приборов и механизмов) зачастую не требуется знания законов распределения аргументов, а достаточно
*) Заметим, что доказать эту теорему (как и сам Бернулли ее доказывал) можно было бы и без ссылки на теорему Чебышева, а просто исходя из биномиального распределения с. в. Rnj но это доказательство было бы довольно громоздким.
412 ГЛ. 10, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
знать их числовые характеристики — м. о., дисперсию, матрицу ковариаций. Каждая из этих характеристик есть не что иное, как математическое ожидание какой-то случайной величины; в частности, D [X1] = M [X3J], о о
KiJ = M[XfXj]1 а на основании закона больших чисел можно каждое из этих математических ожиданий приближенно заменить средиим арифметическим наблюденных значений соответствующей с. в. при достаточно большом числе опытов; мало того, можно даже оценить ошибку, вытекающую из такой замены (о том, как это делается, мы расскажем в следующей главе).
Теорема Бернулли позволяет нам приближенно определять вероятности событий в опытах, не сводящихся к схеме случаев, по частотам этих событий при достаточном числе опытов (гл. 11).
Менее известная и менее популярная теорема Пуассона дает возможность приближенно находить среднюю вероятность события А в серии опытов, одинаковость условий которых трудно гарантировать.
Важное значение в инженерной практике имеет теорема Слуцкого, которая в определенном смысле является следствием закона больших чисел и его различных форм (мы здесь приводим ее без доказательства).
Если случайные величины Xn, Уп,..., Wn при возрастании п сходятся по вероятности к соответствующим не-
71-* OO 71—KXi
случайным величинам X1 у}..., w: Xn ~~^^х; Yn~j?*yi...
71-* ас
• •AWn-^w1 то любая рациональная функция Л(Xn,
Yni ..., Wn) сходится по вероятности к неслучайной величине R(X1 у, w) (если R(X1 у, w) не обращается в бесконечность).
В частности, любая степень Rh(Xni Yni Wn) при к > 0 сходится по вероятности к Нк(х, у, ..., w):
