Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
У
Рис. 11.4.2
Рис. 11.4.3
•F(x)
кривой выбирают параболу, и т. д. При сглаживании эмпирических зависимостей очень часто исходят из «принципа наименьших квадратов», считая, что наилучшим приближением в данном классе фупкций является то, для которого сумма квадратов отклонений обращается в минимум. Вопрос о том, в каком именно классе функций следует искать наилучшее приближение, решается уже не математически, а исходя из соображений, связанных с физикой решаемой задачи, с учетом характера эмпирической кривой и степени точности наблюдений. Иногда принципиальный вид функции, выражающей исследуемую зависимость, известен заранее из теоретических соображений; из опыта же требуется получить лишь некоторые численные параметры, входящие в выражение функции.
Аналогично обстоит дело и с задачей выравнивания статистических распределений. Принципиальный вид выравнивающей плавной кривой f(x) выбирается заранее, исходя из условий возникновения с. в. X, а иногда просто из соображений, связанных с внешним видом гистограммы. Например, гистограмма, изображенная па рис. 11.4.1, явно наводит на мысль о нормальном распределении, а на рис. 11.4.4 — 0 показательном.
Рис. 11.4.4
442 ГЛ. Ii. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Условия возникновения случайной величины также должиы учитываться при выборе типа выравнивающей кривой. Если, как это нередко бывает на практике, с. в. x складывается из многих независимых или слабо зависимых слагаемых, сравнимых по порядку своего влияния на рассеизапие суммы, естественно в качестве выравнивающей взять нормальную плотность:
/(х) = [1/(о У2я)]ехр {- (X - т) 7(2о2)} (11.4.1)
и подбирать, исходя из опытных данных, только параметры иг и о в выражении (11.4.1). Если же, например, с. в. x есть расстояние между соседними событиями потока, то в качестве выравнивающего закона можно взять показательный (см. п. 6.2) или какой-нибудь из законов Эрланга (см. п. 6.4).
Прн этом пообходимо иметь в виду, что любая аналитическая функция j(x), с помощью которой выравнивается гистограмма, должна обладать основными свойствами плотности:
OO
/(х)>0; J f{x)dx = 1. (11.4.2)
— OO
Что касается параметров, входящих в выражение функции /(#), то их подбирают так, чтобы наилучшим образом согласовать выравнивающее аналитическое распределение со статистическшм. При этохМ пользуются различными методами; чаще всего — м е т о д о м моментов, состоящим в том, чтобы важнейшие моменты — м. о., дисперсия, иногда высшие моменты: р,3, у выравниваемого и выравнивающего распределений совпадали *).
Пример. Угол ф, определяющий высоту наблюдаемого объекта над горизонтом, измеряется с помощью специального прибора. Случайная величина X—ошибка измерения угла ф. С целью исследования точности прибора произведено п = 500 измерений этой ошибки (в тысячных долях радиана). Результаты измерений сведены в группированный статистический ряд:
*) Моментами выше четвертого порядка пользоваться нерационально, так как точность вычисления момсптов резко падает с увеличением их порядка,
11.4. ВЫРАВНИВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 443
Разряды
(-4)4-(-3)
(-3)-=-(-2)
(-2)4-¦5¦(-I)
(-1)-5-0
Частоты р*
0,012
0,050
0,144
0,266
Число попаданий в г-й разряд п.
6
25
72
135
Разряды
0-И
14-2
24-3
34-4
Частоты р*
0,240
0,176
0,092
0,020
Число попаданий в 1-Й разряд п{
120
88
46
10
(11.4.3)*)'.
Построить гистограмму распределения. Выровнять статистическое распределение с помощью нормального закона:
f{x) = [1/(оУ2ЇЇ)] ехр {- (X - т)2/(2о2)},
подобрав параметры т и о так, чтобы сохранить неизменными первые два момента статистического распределения: математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Для этого нужно знать статистическое среднее тх и статистическую дисперсию Dx св. X. Мы знаем (п. ЮЛ), что при большом числе опытов п среднее арифметическое наблюденных значений с в. сходится по вероятности к ее м. о., а среднее арифметическое их квадратов — ко второму начальному моменту а2 [Х\. В данном случае мы не располагаем всеми наблюденными п = 500 значениями с в. X, да если бы и располагали, вычисление моментов (без помощи ЭВМ) было бы слишком трудоемким. Ограничимся определением так называемых «грубых» моментов по группированному ряду (11.4.3). Делается это так: выбирается в качестве «представителя» і-го разряда его середина и этому значению
444 ГЛ. і і. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
0,3
(0,2
0,1
-4 -J -2 -1 0 1 2 3 k X Рис. 11.4.5
получим статистическую дисперсию:
_ Dx « 2,098, откуда Ox = Y^Dl « 1,448.
Полагая в выражении нормальной плотности
/(*) = [1/(оУ2л)]ехр {- (X - т)7(2о2)},
т = 0,168; а = 1,448
и пользуясь таблицей приложения 4 в [4], получим значения на границах разрядов:
/(-4) = 0,0045; /(-3) = 0,0256; /(-2) = 0,0895; /(-1) = 0,1986; /(0) = 0,2740; /(1) = 0,2343; /(2) = 0,1244; /(3) = 0,0435.
Гистограмма и выравнивающая ее нормальная кривая распределения f(x) показаны на рис. 11.4.5.
