Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
arg Aw2 — arg Aw1 = arg Az2 — arg Az1 (6.1)
и
Az2 Azj
где Az1 = Z1- Z0 и Az2 = Z2- Z0 суть бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки z0, a Aw1 и Aw2 — их образы (рис. 6.1):
W0C
Заметим, что в силу (6.1) соответствующие углы в точках Z0 и W0 равны не только по абсолютной величине, но и по направлению.
Обозначив arg-^~ чеРез из (6-1) найдем, что и arg = а. Действительно,
arg ^ = arg Л^2 ~~ arg Л^2 = arg ~ arg Лгі = arg Sz71==a- ^6-3^
Из (6.2) и (6 3) получим, что с точностью до бесконечно малых величин имеет место соотношение
В силу произвольности выбора точек Z1 и Z2 в'окрестности ТОЧКИ Z0 соотношение (6.4) означает, что существует предел разностного отношения при Az -у 0. Этот предел по определению является произ-
§ 1]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
151
водной функции f(z) в точке г0. Так как k Ф О, то эта производная отлична от нуля:
Точка Z0 — произвольная точка области 5; поэтому из (6.5) следует, что функция f(z) является аналитической *) в области 5 и /' (z) =/= О при гє^. Однолистность f(z) следует из взаимной однозначности отображения. Теорема доказана.
Итак, конформное отображение области У комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w осуществляется только однолистными аналитическими функциями комплексной переменной с производной, отличной от нуля во всех точках области S-.
Отметим, что условие /' (г) 0 всюду в области & является необходимым, но недостаточным условием конформности отображения области 3> на область О, осуществляемого функцией f{z). Очевидно, если функция f(z) является аналитической в области S и /' (z) О всюду в но функция f(z) не является однолистной в Э, то отображение, осуществляемое этой функцией, не будет взаимно однозначным, а тем самым не будет и конформным. Таким простейшим примером является функция W = Z*, заданная в полукольце 1^|2|^2, Osg
arg z sg: я. Эта функция аналитична в данной области, и w' = Az3 =/= О всюду в данном полукольце. Однако эта функция отображает данное полукольцо па область 1 '] w j ^ 16, 0 arg w ^ 4я, т. е. область, дважды покрывающую соответствующее кольцо на плоскости w, что и нарушает взаимно однозначное соответствие.
Итак, однолистность однозначной аналитической функции в области 5 является важнейшим условием конформного отображения. Как будет показано ниже (см. теорему 6.3 — принцип взаимно однозначного соответствия), это условие является необходимым и достаточным условием конформности отображения.
Как было отмечено выше, свойство сохранения углов означает, что сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми, пересекающимися в точке Z0, и их образами, но и их направление. Отображение, при котором сохраняются абсолютные величины углов между кривыми и их образами, но направление углов меняется на противоположное, называется конформным отображением второго рода. Рассмотренное выше отображение называется конформным отображением первого рода.
Нетрудно показать, что конформное отображение второго рода осуществляется функциями комплексной переменной, являющимися комплексно сопряженными аналитическим функциям с отличной от нуля производной. Действительно, пусть функция w = f(z) осуществляет конформное отображение второго рода некоторой области $
Hm
Az-O
Дш Дг
= /'(*<>)# 0.
(6.5)
*) См. сноску на стр. 32.
152
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w. Рассмотрим функцию W1 = w, отображающую область G на область G* комплексной плоскости ¦Oy1- Очевидно, геометрический смысл последнего отображения заключается в зеркальном отражении области G относительно действительной оси и плоскости w. Но при зеркальном отражении направление всех углов меняется на противоположное при сохранении их абсолютной величины. Это означает, что отображение области Э на область G*, осуществляемое функцией
(P(Z) = W1=W= f(z), z <=9, (6.6)
является конформным отображением первого рода. Тем самым функция ср (z) должна быть аналитической в области У, причем ср' (z) Ф 0, гє^. Но из (6.6) следует, что f(z) = ср(z), что и доказывает высказанное утверждение. До сих пор мы предполагали, что производятся конформные отображения ограниченной области S на ограниченную область G. В некоторых случаях приходится рассматривать отображение окрестности точки Z0 на окрестность точки w = со (или наоборот). При этом мы будем называть данное отображение конформным, если окрестность точки Z0 конформно отображается на окрестность точки ? = 0, где ? = ~. Аналогично определяется конформное
отображение окрестности точки г = со на окрестность точки W = со.
2. Простейшие примеры. В предыдущих главах мы уже рассмотрели некоторые геометрические свойства отображений, осуществляемых рядом элементарных функций. Выясним теперь, являются ли эти отображения конформными, и если да, то в каких областях.
Как легко видеть, линейная функция w =f(z) = az -\- b (афО и Ъ — произвольные комплексные постоянные) осуществляет конформное отображение полной комплексной плоскости z на полную плоскость w, поскольку эта функция однолистна и ее производная /' (z) = а отлична от нуля во всех точках плоскости z. Чтобы убедиться в сохранении конформности отображения окрестности точки z = со на окрестность точки w = со, положим (следуя сделанному выше
