Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1° Интегралы вида
OO
l=\xa'lf{x)dx, 0<а<1. (5.57)
о
Пусть функция /(дг), заданная на положительной части действительной оси, може г быть аналитически продолжена па всю комплексную плоскость. Пусть ее аналитическое продолжение /(г) является однозначной аналитической функцией, за исключением конечного числа изолированных особых точек zk (A=I.....и), не лежащих на положительной части действительной оси, и г = оо является нулем не ниже
§ 21
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
139
первого порядка функции f(z), а точка z = 0 — устранимой особой точкой. Функция
ср (г) = za^f (г) (5.58)
в области S [0 < arg z < 2я], представляющей собой плоскость 2 с разрезом по положительной части действительной оси, очевидно, является аналитическим продолжением подынтегральной функции, совпадающей с ней на верхнем берегу разреза (arg z = 0). Функция <p (z) является однозначной функцией в области S, и ее особые точки совпадают с особыми точками zk функции f(z). Рассмотрим в области S замкнутый контур Г, составленный из отрезков действительной оси [p. R] на верхнем и нижнем берегах разреза' и разомкнутых окружностей Ср, ; 2 j = р, и CR, \z\=R (рис. 5.5). По основной теореме теории вычетов
R p
\ср (0 dl = \ x^f(x) dx + \ 1а~У(1) dl + ] ?«-у'(I) dl +
г p С+ R
п
+ \ C1Z(I) dl = 2я/ 2 Выч [Z«"1/(z), zk]. (5.59) ср fc=l
Рассмотрим каждое из слагаемых левой части равенства (5.59).
^ CV(DdI
CR
-Л—-2nR = '2IiMR^ -~ 0, (5.60)
так как по условию в окрестности точки Z = со для функции f(z)
M
имеет место оценка \f(z)\<C-,—г. Третье слагаемое в (5.59) пред-
Iz I
ставляет собой интеграл по нижнему берегу разреза, где arg z = 2я, т. е. z = x- еі2я (х>0) и Z«-1 = х^1 ¦ е''2я(а-і). Поэтому
] 1"¦-1Z(I)dl= -$X^1Z(X)dx.
(5.61)
Наконец,
\ la~V(l)dl
<Л11р«-)2лр —О,
p^o
(5.62)
так как в окрестности точки Z = O имеет место оценка 1/(Z))^vIf1 и а > 0.
Перейдя к пределу в (5.59) при р —*0 и R — со, на основании (5.60)-(5.62) окончательно получим
iaj
^ x^xZ(x)і
140
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Пример 5. Вычислить интеграл
dx, 0<а< 1.
(5.64)
Подынтегральная функция в (5.64) удовлетворяет всем перечисленным выше условиям. Поэтому
2ЛіЄ>'яіос-і) я
T 2Л1' D
2° Интегралы вида *)
1+г-
1
1-е''
\ха-і (1 - x)~af(x) dx, 0 < а < 1.
(5.65)
(5.66)
Пусть функция f(x), заданная на отрезке действительной оси (0, 1), может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость. Пусть ее аналитическое продолжение является однозначной аналитической функцией, за исключением конечного числа изолированных особых точекzk(k = 1, 2, ..., /V), не лежащих на отрезке 0 =? X =? 1, а точка z = co — устранимая особая точка функции f(z). Тогда интеграл (5.66) легко может быть вычислен методами, аналогичными разобранным выше. Заметим, что аналитическое продолжение подынтегральной функции Ф (z) = 2а-1 (1 - z)af(z) имеет две точки разветвления: Z = O и z=l. Точка 2 = оо является устранимой особой точкой функции Ф (г). Действительно, полный обход по окружности достаточно большого радиуса, содержащий внутри обе точки разветвления Z = O и z=l, не меняет значения функции Ф(г). Рассмотрим область S, представляющую собой полную плоскость z с разрезом по отрезку действительной оси [О, 1]. Ветвь функции Ф (z), совпадающая на верхнем берегу разреза с подынтегральной функцией (5.66) действительной переменной х, является однозначной аналитической функцией в S. Выберем в S замкнутый контур Г, сос-
Рис. 5.6.
*) Как легко видеть, данный интеграл с помощью замены У — -^—- может
быть сведен к интегралу типа (5.57), однако в ряде случаев проще произвести непосредственное вычисление интеграла (5.66), что и делается в этом пункте.
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 141
+ $ Ф(L)d^+ $ Ф©^+ $Ф(?)^ =
'-р с'р- с«
л»
= 2я/ 2 Выч [z^1 (1 - zyaf{z), zk]. (5.67)
A=I
Рассмотрим каждое слагаемое в левой части равенства (5.67). По условию z = со — устранимая особая точка f(z), т. е. в окрестности z = со имеет место разложение
f(z) = a0 + ^ + ..., (5.68)
где u0 = lim /(z).
Рассмотрим функцию
cp(z) = za-i(l -z)'a= '-(ї-М", (5.69)
Z \ 1 — z
являющуюся указанной выше ветвью функции Ф (z)/f(z). Точка Z = co является правильной точкой выбранной ветви функции cp(z); поэтому в окрестности точки Z = co функция ф (z) может быть представлена в виде
ф(2) = ^ + ^, (5.70)
где Ip1 (z) — ограниченная аналитическая функция в окрестности точки Z = OO. Отсюда для разложения функции Ф(г) в ряд Лорана в окрестности точки z = со получаем выражение
Ф(*) = а„-^ + ^_. (5.7.)
где гр (z) — ограниченная аналитическая функция в окрестности точки Z = OO. Из (5.71) находим
Выч [Ф (г), со] = - а0еіяа. (5.72)
Поэтому по формуле (5.17)
$+Ф(Є)гіЄ = 2я*аие'яа. (5 73)
тоящий из обоих берегов разреза [0, 1], замыкающих их окружностей Cp, JzI = P, и Cp, I г — 1 I = р, достаточно малого радиуса р и окружности CR, I z J=/?, содержащей внутри отрезок [0, 1] и все особые точки функции /(z) (рис. 5.6). По основной теореме теории вычетов
\Ф{I)dl= S ха~Н\-хуаf(x)dx+ $ Ф +
