Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 61

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 115 >> Следующая

Замечание. Доказанная теорема остается справедливой и в том случае, если в формулировке теоремы прямолинейный отрезок у' заменить на отрезок дуги окружности. При этом симметрию относительно отрезка дуги окружности надо понимать как зеркальное отражение в данной окружности, осуществляемое преобразованием инверсии. Как будет показано ниже, всегда можно осуществить конформное отображение области S на новую область S1 так, чтобы отрезок у' дуги окружности, являющийся частью границы у области S, перешел в прямолинейный отрезок у\, являющийся частью границы ух области S1. Это и докажет справедливость высказанного утверждения.
4. Теорема Римана. До сих пор мы проводили наши рассмотрения, предполагая, что существует функция f(z), осуществляющая конформное отображение данной области S комплексной плоскости z па заданную область G комплексной плоскости w. Сейчас мы сформулируем условия, гарантирующие существование и единственность такого отображения. Соответствующая теорема, являющаяся фундаментальной теоремой теории конформных отображений, была доказана Риманом в 1851 г. Доказательство существования конформного отображения выходит за рамки нашего курса, поэтому мы ограничимся лишь формулировкой теоремы *).
Теорема 6.7 (теорема Римана). Всякую односвязную область S комплексной плоскости z,t граница которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга \ w \ < 1 плоскости w.
Очевидно, из данной теоремы следует возможность конформного отображения данной односвязной области S плоскости z на заданную односвязную область G комплексной плоскости w, если граница каждой из этих областей состоит более чем из одной точки. Действительно, отобразив области S и G на вспомогательный круг
*) Подробное доказательство см., например, А. В. Бицадзе, Основы теории аналитических функций комплексного переменного, «Наука», 1972.
§ 1]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
161
"С' < 1 (что возможно в силу теоремы Римапа), мы и получим требуемое отображение.
Условие односвязности областей S и G является существенным, так как предположение о возможности конформного отображения многосвязной области S на одпосвязпую область Q приводит к противоречию. Действительно, возьмем в S замкнутый контур у, внутри котрого лежат граничные точки области 'S. Контур у отображается на некоторую замкнутую кривую Г, целиком лежащую в одпо-сиязной области Q (рис. 6.6). Будем стягивать Г к некоторой внутренней точке W0 области G; тогда в силу непрерывности отображения контур у также должен стягиваться к некоторой внутренней точке Z0 области S, оставаясь все время внутри этой области, что,
очевидно, невозможно в силу многосвязности области S и указанного выбора контура у. Итак, конформное отображение многосвязной области на односвязпую невозможно. Однако, как будет показано ниже, в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности.
Перейдем теперь к определению условий, однозначно определяющих функцию, осуществляющую заданное конформное отображение. Ясно, что такие условия необходимы, поскольку, как видно из предыдущих примеров, единичный круг с помощью простейшего линейного преобразования, заключающегося в повороте комплексной плоскости, можно конформно отобразить сам па себя. Поэтому, если функция f(z) осуществляет конформное отображение заданной области S на единичный круг, то и любая функция, полученная из f(z) с помощью указанного линейного преобразования, будет осуществлять конформное отображение области S на тот же единичный круг.
Теорема 6.8. Функция f(z), осуществляющая конформное отображение заданной односвязной области S (граница которой состоит более чем из одной точки) на единичный круг \ w | < 1 так, что f (z0) = 0 и arg/'(z0) = а0 (где Z0^S и Ot0 — заданное действительное число), определена единственным образом.
Доказательство. Предположим, что в области S существуют две различные функции W1 = fx (z) и W2 = f2 (z), осуществляющие
Рис. 6.6.
162
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. G
заданное конформное отображение, т. е.
Zi (г0) = 0, arg /, (Z0) = O0, \ A (Z) 1Y = 1, /а (го) = 0, arg Zi (Z0) = а0, | Z2 (z) \у = 1.
Заметим, что в силу теоремы 6.5 функции W1=Z1(Z) и w2=Zi(z) устанавливают взаимно однозначное и непрерывное соответствие между границей у области S и окружностями j W1 \ = 1 и Jw2I = I соответственно.
Так как при конформном отображении устанавливается взаимно однозначное соответствие, то тем самым установлено и взаимно однозначное соответствие между точками единичных кругов | W1 \ 1 и |и'2|=?;1. Значит, установленные соответствия определяют аналитическую функцию W2 = ф (W1), осуществляющую конформное отображение единичного круга | 1 < 1 на единичный круг \w2\-<,l, причем
ф(0) = 0, kW,,.,,=, = !.
Заметим, что, кроме того, в силу взаимно однозначного соответствия областей j W11 <С 1 и j W21 < 1 имеет место условие
ф (W1) Ф 0 при W1 Ф 0. r> „ dwo
Вычисляя значение производной -~- по правилу определения произ-водной от сложной функции, получаем
Дсі)2
dtp ~dwx
dw2 ,.Az k,c " k, ^ n
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed