Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что поскольку дробно-линейная функция осуществляет конформное отображение полной плоскости z на полную плоскость w, то одна из точек Z1 и одна из точек W1, заданием которых определяется дробно-линейная функция, могут быть бесконечно удаленными точками.
Рассмотрим геометрические свойства отображения, осуществляемого дробно-линейной функцией. Для этого несколько преобразуем выражение (6.23), представив его в виде
и введем вспомогательные функции
Z1 = $+ z, Z2 = У Z3 = к (a-^) Z2+?, (6.33)
Из соотношений (6.33) следует, что отображение, осуществляемое дробно-линейной функцией, представляет собой совокупность простейших отображений, осуществляемых линейными функциями Z1 И Z3
и функцией у, рассмотренными в гл. 1. Тем самым рассматриваемое
отображение слагается из подобных растяжений, поворотов и сдвигов комплексной плоскости, а также преобразования инверсии в круге. При этом данное отображение обладает рядом важных свойств, на которых мы остановимся подробнее.
Теорема 6.10 {круговое свойство дробно-линейной функции). Дробно-линейная функция переводит окружности на плоскости z в окружности на плоскости w. При этом мы включаем прямые в семейство окружностей, рассматривая прямые как окружности бесконечно большого радиуса.
166
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
Доказательство. Очевидно, для доказательства теоремы достаточно показать, что преобразование инверсии, осуществляемое функцией w = ~, обладает круговым свойством, так как сохранение окружности при линейном преобразовании не может вызывать сомнений. Рассмотрим произвольную окружность, уравнение которой на плоскости z имеет вид
A (х2 +у2) + Bx + Cy + D = O, (6.34)
где А, В, С, D — действительные числа, удовлетворяющие условиям А^О, В2 +С2 > AAD. При A = O мы, очевидно, получим прямую; при D = O окружность (6.34) проходит через начало координат (точку z = 0). При преобразовании, осуществляемом функцией w = u +
+ га ==-—-, координаты х, у связаны с координатами и, v соотношениями
JT = TTa. У =--^Г^- (6'35)
Поэтому окружность (6.34) в новых координатах примет вид
D (и2 + V2) + Bu - Cv + А = 0, (6.36)
что и доказывает утверждение теоремы.
Заметим, что при D = O уравнение (6.36) представляет уравнение прямой, т. е. окружность, проходящая через точку z = 0, функцией 1
w=-~ отооражается в прямую.
Рассмотренное свойство дробно-линейной функции находит широкое применение при решении многих конкретных задач конформных отображений, связанных с отображением областей с круговыми границами. Действительно, пусть надо осуществить конформное отображение области ограниченной окружностью у, на плоскости z на область О, ограниченную окружностью Г, на плоскости w. Как известно, положение окружности на плоскости полностью определяется заданием трех точек. С другой стороны, в силу теоремы 6.9, задав соответствие трех точек zk плоскости z, лежащих на окружности у, трем точкам wk плоскости w, лежащим на окружности Г, мы полностью определим дробно-линейную функцию, осуществляющую конформное отображение плоскости z на плоскость w. При этом согласно теореме 6.10 окружность у перейдет в окружность Г. Если при этом соответствие точек Zk и wk выбрано так, что сохранено направление обхода, то в силу теоремы 6.4 данная функция осуществляет конформное отображение области S на область G. Заметим, что при этом область, внешняя окружности у на плоскости z, конформно отображается па область, внешнюю окружности Г на плоскости w. Если соответствие точек zk и wk установлено так, что направления обхода
ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
167
окружностей у и Г противоположны, то область с$ конформно отображается на область, внешнюю окружности Г па плоскости w.
Пример 1. Найти функцию, конформно отображающую единичный круг I z j < 1 на верхнюю полуплоскость Im да>0.
Для решения поставленной задачи установим следующее соответствие граничных точек данных областей (рис. 6.7):
2I1=I-^1 = O, (6.37')
Z2 = і -+w2=\, (6,37")
Z3 = —1 ^3 = со, (6.37'")
и найдем коэффициенты A, а, ? дробно-линейной функции, осуществляющей искомое отображение. Как легко видеть из условий (6.37')
Рис. 6.7.
и (6.37'"), сразу определяются значения а и ?, после чего искомая функция принимает вид
. Z-I W = K--г. Z+1
Последний коэффициент % определяется из условия (6.37"):
откуда X= — і. Тем самым функция, осуществляющая искомое отображение, имеет вид
w = i\^. (6.38)
Отметим, что функция (6.38) осуществляет конформное отображение области I z I > 1 на нижнюю полуплоскость Im и><С и.
Как следует из рассмотренного примера, построение искомой дробно-линейной функции проводится наиболее просто в том случае,
168
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
когда заданными точками плоскости гг> являются точки w = 0kw = oo. В этом случае сразу определяются значения коэффициентов а п ?. Следующее свойство дробно-линейной функции заключается в сохранении точек, симметричных относительно окружности. Напомним, что точки P и и' называются симметричными относительно окружности С, если они лежат на общем луче, проходящем через центр О окружности С, и произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса окружности: OP ¦ OP' = R'2. Имеет место Теорема 6.11. При отображении, осуществляемом дробно-линейной функцией, точки, симметричные относительно любой окружности, переходят в точки, симметричные относительно образа этой окружности.
