Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 6
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Как при построении общей теории функций комплексной переменной, так и в ее многочисленных приложениях, в частности к решению задач механики и физики, большое значение имеет изучение геометрических свойств конформных отображений, осуществляемых аналитическими функциями. В гл. 1 было введено понятие конформного отображения, обладающего свойствами сохранения углов и постоянства растяжений. Фундаментальной задачей теории конформных отображений является следующая. Даны две области комплексной плоскости, и требуется найти функцию, осуществляющую взаимно однозначное и конформное отображение одной области па другую. При этом, конечно, возникают вопросы об условиях существования и однозначного определения такой функции.
В этой главе будут кратко изложены основные понятия теории конформного отображения. Мы также рассмотрим некоторые геометрические свойства отображений, осуществляемых рядом аналитических функций, находящих наиболее широкое применение в приложениях.
§ 1. Общие свойства
1. Определение конформного отображения. В гл. 1 при рассмотрении геометрического смысла модуля и аргумента производной было введено понятие конформного отображения. Было показано, что если функция w= f (г) является однозначной и аналитической в окрестности некоторой точки г0 и f'(Z0) =/=(), то отображение, осуществляемое данной функцией, в точке Z0 обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений. То есть угол между любыми двумя гладкими кривыми, пересекающимися в точке z0, равен и по абсолютной величине и но направлению углу между их образами на плоскости w в точке w0==f(z0), а бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки Z0, преобразуются подобным образом. Это означает, что при рассматриваемом отображении любой бесконечно малый треугольник с вершиной в точке Z0 преобразуется в подобный ему бесконечно малый треугольник с вершиной в точке W0.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
149
Отметим, что в силу общих свойств аналитических функций *) в окрестности точки W0 определена однозначная аналитическая функция z = ф (да). Тем самым между окрестностями точек Z0 и W0 установлено взаимно однозначное соответствие. Введем следующее фундаментальное определение.
Взаимно однозначное отображение области $ комплексной плоскости z на область Q комплексной плоскости w называется конформным, если это отображение во всех точках z ^ 9 обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений. Подчеркнем, что данное определение подразумевает непрерывность рассматриваемого отображения.
Из предыдущего ясно, что при конформном отображении области 9 на область G бесконечно малые плоские фигуры области S преобразуются в подобные им бесконечно малые фигуры области G. Также легко видеть, что при конформном отображении сохраняется свойство взаимной ортогональности системы кривых на плоскости. Действительно, пусть в области S плоскости z (z = x-\-iy) заданы два взаимно ортогональных одпопараметрических семейства кривых ф(х, у) = с и ф(.г, у) = с, причем через любую точку области 3 проходят по одной кривой каждого семейства. Тогда при конформном отображении области Э па некоторую область G плоскости w (W = U-YIv) образы данных кривых па плоскости w — кривые Ф(гг, Tj) = C и 1F(h, Tj) = C-на основании свойства сохранения углов также будут взаимно ортогональны. Это означает, что если в области S введена некоторая ортогональная криволинейная система координат, то при конформном отображении эта система координат перейдет также в ортогональную систему.
Выясним теперь, какими свойствами должна обладать функция комплексной переменной для того, чтобы отображение, осуществляемое этой функцией, было конформным.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 6.1. Пусть функция f(z) является однозначной и однолистной аналитической функцией в области S и f (z) ф О при гє^. Тогда функция f(z) производит конформное отображение области 5 на область Q комплексной плоскости w, представляющую собой область значений функции w = f(z) при Z є^.
Доказательство. Действительно, в силу условия /' (z) ф О при z с= S отображение, осуществляемое функцией f(z), во всех точках области S> обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений, что и доказывает теорему.
Итак, условия аналитичности, однолистности и отличия от нуля производной функции комплексной переменной являются достаточными условиями конформности отображения, осуществляемого этой
*) См. гл. 1, стр. 33.
150
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
!ГЛ. 6
функцией. Естественно поставить вопрос, являются ли эти условия необходимыми. На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема 6.2. Пусть функция f(z) осуществляет конформное отображение области 5 комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w и ограничена в Тогда функция f(z) является однолистной и аналитической в области причем f (г) ф 0 при 26^.
Доказательство. Так как отображение, осуществляемое функцией /(z), является конформным, то оно является взаимно однозначным, и в любой точке Z0 є Sf выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений. Следовательно, для любых точек Zx и Z2, принадлежащих окрестности точки z0, с точностью до бесконечно малых величин выполняются соотношения
