Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 59

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 115 >> Следующая

Пример 3. Построить функцию, конформно отображающую полосу 0 < Re z <С а на верхнюю полуплоскость lma)>0. jt
Функция Z1 = -- z отображает исходную полосу на полосу 0 «<
< Re .?!¦<; я. Функция Z2 = Iz1 переводит полученную полосу в полосу о < Im Z2 < я. Наконец, функция w = ez* осуществляет конформное отображение данной полосы на верхнюю полуплоскость Imo>>0. Поэтому функция, осуществляющая заданное конформное отображение, может быть взята в виде
. я
I — Z
W = Є а .
3. Основные принципы. Мы рассмотрели некоторые простейшие примеры функций, осуществляющих конформные отображения, и с их помощью решили основную задачу конформного отображения для ряда простейших областей. Рассмотрение более сложных примеров требует использования общих принципов конформного отображения, к изложению которых мы переходим. При этом в ряде случаев ограничимся лишь формулировкой соответствующих положений, не проводя их строгого обоснования, что значительно выходит за рамки настоящего курса.
а) Взаимно однозначное соответствие. Как было отмечено, при конформном отображении области S комплексной плоскости z на область G плоскости w, осуществляемом аналитической
*) Построение римановой поверхности функции Ln ш, см. гл. 3, стр. 102.
156
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
в S функцией f(z), устанавливается взаимно однозначное соответствие этих областей. Тем самым условие однолистности функции f(z) в области S является необходимым условием конформности отображения. Оказывается, что это условие является и достаточным.
Теорема 6.3. Пусть функция f(z) является однозначной аналитической функцией в области S, осуществляющей взаимно однозначное отображение области S на область Q комплексной плоскости w. Тогда это отображение является конформным.
Доказательство. Для доказательства теоремы, очевидно, достаточно показать, что при выполнении условий теоремы производная функции f(z) отлична от нуля всюду в области S. Предположим, что это не имеет места, т. е. что в области S существует такая точка Z0, в которой /' (z0) = 0. Так как f(z) является аналитической в области S, то в силу сделанного предположения ее разложение в степенной ряд в окрестности точки z0 должно иметь вид
f(z) = а0+ ak (z - z0f + akll (z - Z0)^ +..., (6.7)
причем и ak Ф 0. Если /' (г)^0, то точка Z0 не может быть
предельной точкой нулей функции /' (z). Это означает, что можно указать такое значение б', что /' (z) ф 0 во всех точках z Ф Z0 внутри круга \z — z0\ < б'. Кроме того, очевидно, можно выбрать такое значение б", чтобы имело место неравенство
1|з (z) = ак + ak+1 (z - Z0) +... ф 0
при I Z — Z0 j < б".
Выбрав 6 = min {б', б"}, получим
/'(*)# 0 при гфг0, \
} при \z — Zn Ns- б. (6.8) y(z) = ak + ak+i(z-z0) + ...=?0 j
Из последнего соотношения следует в силу непрерывности функции ty(z), что
min ! (z - Z0)'11|з {Z) |, г_г„ | = б = т > 0.
Выберем некоторое комплексное число а, удовлетворяющее условию |aj<w. Согласно теореме Руше аналитическая функция
ф (Z) = (Z - Z0Y ^ (г)-a =f(z) -а0~а (6.9)
имеет внутри круга | z — Z0 j s=c б столько же нулей, сколько и функция (z—z0)kty(z). Последняя в силу условия (6.8) имеет в этом круге k нулей — точка Z = Z0 является ее нулем k-ro порядка. Тогда из (6.9) следует, что уравнение
/(Z) = а0 + а (6.10)
имеет k корней в круге \ z — Z0 \ sg б, причем все эти корни простые, так как точка z = Z0 не является корнем уравнения (6.10) и в силу
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
157
(6.8) /' (z) =/=0 в остальных точках данного круга. Это означает, что в k различных точках круга \ z — Z01 =5; o функция /(z) принимает одно и то же значение /(z) = a0-l-a. Mo последнее противоречит условию взаимной однозначности отображения области S на область G, что и доказывает теорему.
Итак, из доказанной теоремы следует, что необходимым и достаточным условием того, чтобы однозначная функция /(z), аналитическая в области S, осуществляла конформное отображение этой области па некоторую область G плоскости w, является условие однолистности /(z) в области S.
б) Принцип соответствия границ. При решении конкретных задач конформного отображения заданной области S на заданную область G обычно следят лишь за тем, чтобы искомая функция f(z) производила отображение границы у области S па границу Г области G, не рассматривая специально отображения внутренних точек. Это можно делать в силу так называемого принципа соответствия границ, доказательство которого будет проведено ниже. Предварительно сделаем следующее замечание. Пусть в области S задана однозначная непрерывная функция w=f(z). Очевидно, эта функция переводит любую замкнутую кривую у, целиком лежащую в области S, также в замкнутую кривую Г на плоскости w. Мы будем говорить, что при отображении кривой у, осуществляемом функцией f(z), сохраняется направление обхода, если при непрерывном движении точки в положительном направлении вдоль кривой у соответствующая ей точка обходит кривую Г также в положительном направлении. Перейдем теперь к рассмотрению самого принципа.
Теорема 6.4. Пусть в конечной области S, ограниченной контуром у, задана однозначная аналитическая функция f(z), непрерывная в S и осуществляющая взаимно однозначное отображение контура у на некоторый контур Г комплексной плоскости w. Тогда, если при данном отображении контуров сохраняется направление обхода, то функция f(z) осуществляет консрормное отображение области S, на внутреннюю область G, ограниченную контуром Г.
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed